第2讲导数及其应用

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1、第2讲导数及其应用【自主学习】第2讲导数及其应用（本讲对应学生用书第35〜38页）自主学习回归教材1〔2丄〕1.（选修1-1P82练习3改编）函数/&）二x的图彖在点I2丿处的切线方程为•丄【答案】尸心1］丄J_J_【解析】因为/（兀）二-戸，所以/（2）二-习，所以切线方程为>-2=-4（x-2）,即尸-j_4X+1.2.（选修1-1P87练习1改编）函数尸x/的单调增区间为.［旦血、［答案］I3，3丿V373【解析】由/=l-3x2,=1-3/>0,可得.3〈*3,所以函数的单调增区间为3'37■3.（选修1-1P89习题4改

2、编）函数y%ln兀，用（0,2）的极值为.【答案】极小值1【解析】因为y=1-x,令y'二1-x二0,得兀二1,易知当%=1时,函数有极小值1.丄1.（选修1-1P90例2改编）函数二并+sinx在区间[0,2叮上的最大值为•【答案】兀12兀4兀【解析】由题意知/（兀）二2+cos兀，令/（兀）二0,解得兀1二3,兀2二3,〔空]兀屈丄又人3丿二3+2j/（2Ji）=n.2.（选修1-1P91练习5改编）已知函数尸比x,xe（0,1],则函数的值域为•【答案】（1,£-1]【解

3、析】由题设得y'二於-1,因为兀丘（0,1],所以y>0,所以函数在兀丘（0,1]上是增函数.又尸0时，尸1,兀二1时，y=e~l,所以函数y=ex-x,（0,1]的值域为（1,£一1]・【要点导学】要点导学各个击破导数的几何意义j_4例]已知曲线尸Sf+3.(1)求曲线在点P(2,4)处的切线方程；(2)求曲线过点P(2,4)的切线方程;(3)求斜率为1的曲线的切线方程.【分析】(1)因为点P(2,4)在曲线上，所以可求出切线的斜率，从而可求出切线方程；(2)求过点P(2,4)的切线方程，该点可能是切点，也可能不是；(3)求斜率为

4、1的曲线的切线方程，首先要求出切点.]_4【解答】(1)因为点P(2,4)在曲线尸3界亍上，且才二孑所以在点p(2,4)处的切线的斜率匸4,所以曲线在点P(2,4)处的切线方程为厂4二4(兀-2),即心*-4=0.设曲线尸3兀注3与过点p(2,4)的切线相切于点A'斜率灯对,斗2所以切线方程为°3丿二对(胁旳),(3)设切点为&(),y()),则切线的斜率为卅二1,沟二±1.因为切点为(-1,1)或「3丿，5所以切线方程为厂1中+1或才3二犷1,即兀・y+2二0或3x-3y+2二0・【点评】解决函数切线的相关问题，需抓住以下关键点：

5、(1)切点是交点・(2)在切点处的导数是切线的斜率.因此，解决此类问题，一般要设出切点，建立关系—方程组.(3)求曲线的切线要注意“过点P的切线”与“在点P处的切线”的差异.过点P的切线中，点P不一定是切点，点P也不一定在已知曲线上；在点P处的切线，点P是切点.变式设函数/&)二衣+屮处％,曲线y于(x)过点P(l,0),且在点P处的切线斜率为2,则°+庆m(2)(2015•常州一中)已知曲线y二2厂兀&GR,加工-2)在尸1处的切线为直线/.若宜线/在两坐标轴上的截距Z和为12,则实数加的值为.【答案】(1)2(2)-3或-4【解

6、析】⑴/(0二1+2血+兀，由已知条件得/(1)=0,/(I)=2,1+d=0,1+2a+b=2.解得b=3.m(2)y=2+x~,y'lm二2+加，所以直线/的方程为厂(2-加)二(2+加)(厂1),即2m2my=(2+m)兀-2加.令兀二0,得y二-2加；令〉=0,兀二加+2.

7、±］题意得加+2-2m=12,解得加二-3或m--A.利用导数研究函数的单调性例2(2015•长郡中学)己知函数/*(%)二din-3(aUR).(1)求函数/G)的单调区间；(2)若函数y=/G)的图象在点(2,/(2))处的切线的倾斜角为45°,且对

8、于任意m'f{x)H的/e[l,2],函数g(x)=/+/-<2丿在区间幺3)上总不是单调函数，求实数加的取值范围.【分析】利用导数求函数的单调区间的步骤是：①求导函数f(兀)；②解/(兀)〉0(或〈0)；③得到函数的增区间(或减区间).对于本题第(1)问在求单调区间时耍注意函数的定义域以及对参数Q进行讨论；(2)点(2,/(2))处的切线的倾斜角为45°,即切线的斜率为1,即/(2)二1,可求岀°的值，代入得g(x)的解析式，rtlg‘⑴=m+5<0,

9、调函数可知：〔3加+37>0,,于是可求加的取值范囤.a(l-x)【解答】⑴/3二&>0).①当0>0吋，显然00；当兀>1吋，/(x)<0,所以此时代X)的单调增区间为(0,1),单调减区间为(1,+8).②同