初中数学竞赛试题 (2)

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1、初中数学竞赛试题参考答案一、选择题(共5小题,每小题7分,共35分.以下每道小题均给出了代号为A,B,C,D的四个选项,其中有且只有一个选项是正确的.请将正确选项的代号填入题后的括号里,不填、多填或错填都得0分)1.已知非零实数a,b满足,则等于().(A)-1(B)0(C)1(D)2【答】C.解:由题设知a≥3,所以,题设的等式为,于是,从而=1.2.如图,菱形ABCD的边长为a,点O是对角线AC上的一点,且OA=a,OB=OC=OD=1,则a等于().(第2题)(A)(B)(C)1(D)2【答】A.解:因为△BOC∽△ABC,所以,即,所以,.由,解得.3.将一枚六个面编号

2、分别为1,2,3,4,5,6的质地均匀的正方体骰子先后投掷两次,记第一次掷出的点数为,第二次掷出的点数为,则使关于x,y的方程组只有正数解的概率为().(A)(B)(C)(D)【答】D.解:当时,方程组无解.当时,方程组的解为由已知,得即或由,的实际意义为1,2,3,4,5,6,可得共有5×2=10种情况;或共3种情况.又掷两次骰子出现的基本事件共6×6=36种情况,故所求的概率为.4.如图1所示,在直角梯形ABCD中,AB∥DC,.动点P从点B出发,沿梯形的边由B→C→D→A运动.设点P运动的路程为x,△ABP的面积为y.把y看作x的函数,函数的图像如图2所示,则△ABC的面

3、积为().(A)10(B)16(C)18(D)32(第4题)图2图1【答】B.解:根据图像可得BC=4,CD=5,DA=5,进而求得AB=8,故S△ABC=×8×4=16.5.关于x,y的方程的整数解(x,y)的组数为().(A)2组(B)3组(C)4组(D)无穷多组【答】C.解:可将原方程视为关于的二次方程,将其变形为.由于该方程有整数根,则判别式≥,且是完全平方数.由≥,解得≤.于是01491611610988534显然,只有时,是完全平方数,符合要求.当时,原方程为,此时;当y=-4时,原方程为,此时.所以,原方程的整数解为二、填空题(共5小题,每小题7分,共35分)6.

4、一个自行车轮胎,若把它安装在前轮,则自行车行驶5000km后报废;若把它安装在后轮,则自行车行驶3000km后报废,行驶一定路程后可以交换前、后轮胎.如果交换前、后轮胎,要使一辆自行车的一对新轮胎同时报废,那么这辆车将能行驶km.【答】3750.解:设每个新轮胎报废时的总磨损量为k,则安装在前轮的轮胎每行驶1km磨损量为,安装在后轮的轮胎每行驶1km的磨损量为.又设一对新轮胎交换位置前走了xkm,交换位置后走了ykm.分别以一个轮胎的总磨损量为等量关系列方程,有两式相加,得,则.7.已知线段AB的中点为C,以点A为圆心,AB的长为半径作圆,在线段AB的延长线上取点D,使得BD=

5、AC;再以点D为圆心,DA的长为半径作圆,与⊙A分别相交于F,G两点,连接FG交AB于点H,则的值为.解:如图,延长AD与⊙D交于点E,连接AF,EF.由题设知,,在△FHA和△EFA中,,所以Rt△FHA∽Rt△EFA,.(第7题)而,所以.8.已知是满足条件的五个不同的整数,若是关于x的方程的整数根,则的值为.【答】10.解:因为,且是五个不同的整数,所有也是五个不同的整数.又因为,所以.由,可得.9.如图,在△ABC中,CD是高,CE为的平分线.若AC=15,BC=20,CD=12,则CE的长等于.【答】.解:如图,由勾股定理知AD=9,BD=16,所以AB=AD+BD=

6、25.故由勾股定理逆定理知△ACB为直角三角形,且.作EF⊥BC,垂足为F.设EF=x,由,得CF=x,于是BF=20-x.由于EF∥AC,所以,(第9题)即,解得.所以.(第10题)10.10个人围成一个圆圈做游戏.游戏的规则是:每个人心里都想好一个数,并把自己想好的数如实地告诉他两旁的两个人,然后每个人将他两旁的两个人告诉他的数的平均数报出来.若报出来的数如图所示,则报3的人心里想的数是.【答】.解:设报3的人心里想的数是,则报5的人心里想的数应是.于是报7的人心里想的数是,报9的人心里想的数是,报1的人心里想的数是,报3的人心里想的数是.所以,解得.三、解答题(共4题,每

7、题20分,共80分)11.已知抛物线与动直线有公共点,,且.(1)求实数t的取值范围;(2)当t为何值时,c取到最小值,并求出c的最小值.解:(1)联立与,消去y得二次方程①有实数根,,则.所以==.②………………5分把②式代入方程①得.③………………10分t的取值应满足≥0,④且使方程③有实数根,即=≥0,⑤解不等式④得≤-3或≥1,解不等式⑤得≤≤.所以,t的取值范围为≤≤.⑥………………15分(2)由②式知.由于在≤≤时是递增的,所以,当时,.………………20分12.已知正整数满足,且

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