4.1.2 圆的一般方程

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1、精品4.1.2圆的一般方程  教学目标  1.讨论并掌握圆的一般方程的特点,并能将圆的一般方程化为圆的标准方程,从而求出圆心的坐标和半径.2.能分析题目的条件选择圆的一般方程或标准方程解题,解题过程中能分析和运用圆的几何性质.  3.通过对圆的一般方程的特点的讨论,培养学生严密的逻辑思维和严谨的科学态度;通过例题的分析讲解,培养学生分析问题的能力.  教学重点与难点  圆的一般方程的探求过程及其特点是教学重点;根据具体条件选用圆的方程为教学难点.  教学过程  一、复习并引入新课  师:请大家说出圆心在点(a,b),且半径是r的圆的方程.  生:(x-a)2+(y-b)2=r2

2、.  师:以前学习过直线,直线方程有哪几种?  生:直线方程有点斜式、斜截式、两点式、截距式和一般式.  师:直线方程的一般式是Ax+By+C=0吗?  生A:是的.  生B:缺少条件A2+B2≠0.  师:好!那么圆的方程有没有类似“直线方程的一般式”那样的“一般方程”呢?  (书写课题:“圆的一般方程”的探求)  二、新课  师:圆是否有一般方程?这是个未解决的问题,我们来探求一下.大家知道,我们认识一般的东西,总是从特殊入手.如探求直线方程的一般形式就是通过把特殊的公式(点斜式,两点式……)展开整理而得到的.想求圆的一般方程,怎么办?  生:可仿照直线方程试一试!把标准形

3、式展开,整理得  x2+y2-2ax-2by+a2+b2-r2=0.令D=-2a,E=-2b,F=a2+b2-r2,有:x2+y2+Dx+Ey+F=0.(*)  师:从(*)式的得来过程可知,只要是圆的方程就可以写成(*)的形式.那么能否下结论:x2+y2+Dx+Ey+F=0就是圆的方程?精品  生A:不一定.还得考虑:x2+y2+Dx+Ey+F=0能否写成标准形式.  生B:也可以像直线方程一样,要有一定条件.  师:那么考虑考虑怎样去寻找条件?  生:配方.  师;请大家动手做,看看能否配成标准形式?  (放手让同学讨论,教师适当指导,然后由同学说,教师板书.)    1.

4、当D2+E2-4F>0时,比较(△)式和圆的标准方程知:(*)式表示以    2.  3.当D2+E2-4F<0时,(*)式没有实数解,因而它不表示任何图形.  教师总结:当D2+E2-4F>0时,方程x2+y2+Dx+Ey+F=0叫圆的一般方程.  师:圆的一般方程有什么特点?  生A:是关于x、y的二元二次方程.  师:刚才生A的说法对吗?  生B:不全对.它是关于x、y的特殊的二元二次方程.  师:特殊在什么地方?  (通过争论与举反例后,由教师总结)  师:1.x2,y2系数相同,且不等于零.  2.没有xy这样的二次项.  (追问):这两个条件是“方程Ax2+By2+

5、Dx+Ey+F=0表示圆”的什么条件?  生:必要条件.  师:还缺什么?  生:D2+E2-4F>0.  练习:判断以下方程是否是圆的方程:  ①x2+y2-2x+4y-4=0精品  ②2x2+2y2-12x+4y=0  ③x2+2y2-6x+4y-1=0  ④x2+y2-12x+6y+50=0  ⑤x2+y2-3xy+2y+5y=0  ⑥x2+y2-12x+6y+F=0  三、应用举例  师:先请大家比较一下圆的标准方程(x-a)2+(y-b)2=r2与一般方程x2+y2+Dx+Ey+F=0在应用上各有什么优点?  生:标准方程的几何特征明显——能看出圆心、半径;一般方程的

6、优点是能从一般的二元二次方程中找出圆的方程.  师:怎样判断用“一般方程”表示的圆的圆心、半径.  生:  生B:不用死记,配方即可.师:两种形式的方程各有特点,我们应对具体情况作具体分析、选择.四.例题讲解  例1.求过三点的圆的方程;分析:由于不在同一条直线上,因此经过三点有唯一的圆.解:法一:设圆的方程为,∵三点都在圆上,∴三点坐标都满足所设方程,把代入所设方程,得:解之得:精品所以,所求圆的方程为.法二:也可以求和中垂线的交点即为圆心,圆心到的距离就是半径也可以求的圆的方程:.法三:也可以设圆的标准方程:将点的坐标代入后解方程组也可以解得例2.已知线段的端点的坐标是,端

7、点在圆上运动,求线段中点的坐标中满足的关系?并说明该关系表示什么曲线?解:设点的坐标是,由于点的坐标是,且是的中点,所以(*)于是,有因为点在圆上运动,所以点的坐标满足方程,即(**)将(*)式代入(**),得,整理得所以满足的关系为:其表示的曲线是以为圆心,1为半径的圆.说明:该圆就是点的运动的轨迹;所求得的方程就是点的轨迹方程:点的轨迹方程就是指点的坐标满足的关系式.  五、小结精品  注意一般式的特点:1°x2,y2系数相等且不为零;2°没有xy这样的项;  3°D2+E2-4F>0.

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