第8讲 多自由度受迫振动教案.doc

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1、系统对简谐力激励的响应设n自由度系统沿各个广义坐标均受到频率和相位相同的广义简谐力的激励，系统受迫振动方程：：外部激励的频率；：广义激励力的幅值列阵设稳态解：，代入作用力方程，得：记，多自由度系统的幅频响应矩阵，简谐激励下，系统稳态响应也为简谐响应，并且振动频率为外部激励的频率，但是各个自由度上的振幅各不相同。工程中：称为阻抗矩阵，导纳矩阵。因此Hij的物理意义为仅沿j坐标作用频率为w的单位幅度简谐力时，沿i坐标所引起的受迫振动的复振幅由于H含有，系统的特征方程因此，当外部激励频率接近系统的任意一个固有频率时，都会使受迫振动的振幅无限增大，引起共振。动力吸振器许多机器或部件由于旋转部

2、分的质量偏心而产生强迫振动，为减小这种振动有时可以采用动力吸振器若忽略主系统阻尼，主系统固有频率：，为抑制主系统的振动，在主系统上附加一个弹簧-质量系统，动力吸振器的无阻尼固有频率：通过调节动力吸振器的参数大小，以达到抑制主系统振动的目的。系统的强迫振动方程：当吸振器阻尼为零时，利用直接法稳态响应振幅：：系统的特征多项式当时，外部激励频率等于吸振器的固有频率，主系统不再振动，。此时，吸振器振幅，主系统上受到的激振力恰好被来自吸振器的弹性恢复力平衡。吸振器参数k2、m2一般选为：，使吸振器的固有频率和主系统的固有频率相等。记：，，。当时，，，，，将代入并设主质量静变形，虽然出现反共振，

3、但是在反共振的两旁存在两个共振点。为了允许激励频率在附近有一定范围的变化，s1、s2应当相距远些。当值较大时，s1、s2相距较远，k2、m2变大，动力吸振器变得笨拙，措施：采用阻尼动力吸振器。有阻尼动力吸振器稳态响应振幅（复振幅）：主系统复振幅：取模，得实振幅：引入下列符号：得无量纲表达：当时，系统中无阻尼，两个共振频率点s=0.895，1.12。当s=1时，反共振，主系统振幅为零。当时，系统变成单自由度系统，共振点s=0.976。当和时，可见当s＝1时，主系统振幅并不为零，但是和无阻尼系统的两个共振振幅相比，共振振幅明显下降。无论阻尼取多少，所有曲线都过S、T两点，实际设计有阻尼动

4、力吸振器时，一般选取适当的m2与k2，使曲线在S和T点有相同的幅值，并且适当选取阻尼，使曲线在S、T两点具有水平切线。模态叠加法求解，模态坐标解：：激励频率与第阶固有频率之比。各坐标的受迫振动规律完全类似于单自由度系统的受迫振动规律第j阶主坐标的受迫振动幅度将急剧增大，导致第j阶频率的共振，系统具有n个不相等的固有频率时，可以出现n种不同频率的共振。例题：求图示三自由度系统在，激励下的稳态响应。解：已求得固有频率，，正则振型矩阵：正则坐标下的激振力：第一个正则方程：同理可解出：，激振频率接近第二阶固有频率，在稳态响应中第二阶振型占主要成分。任意外部激励时的情况n自由度系统：，，令，利

5、用模态矩阵可将方程变换为，称为模态广义力。有正则坐标初始条件：，解得在得到后，利用得出原系统的解。同理可利用模态坐标变换求解。例题：在第一个和第四个质量上作用有阶梯力，零初始条件下求系统响应。解：动力方程：正则模态矩阵：，当，当，解为：矩阵形式：原系统响应：阻尼情况实际机械系统中不可避免地存在着阻尼，如材料的结构阻尼，介质的粘性阻尼等。阻尼力机理复杂，难以给出恰当的数学表达，•在阻尼力较小时，或激励远离系统的固有频率时，可以忽略阻尼力的存在，近似地当作无阻尼系统•当激励的频率接近系统的固有频率，激励时间又不是很短暂的情况下，阻尼的影响是不能忽略的有阻尼的n自由度系统：阻尼矩阵，元素c

6、ij阻尼影响系数，是使系统仅在第j个广义坐标上产生单位速度而相应于第i个坐标上所需施加的力。假定已经得到无阻尼系统下的模态矩阵和谱矩阵，做坐标变换：是模态阻尼矩阵，虽然主质量矩阵与主刚度矩阵是对角阵，但阻尼矩阵一般非对角阵，因而主坐标Y下的强迫振动方程仍然存在耦合。例如三自由度系统，，，，是非对角矩阵。若非对角，则在无阻尼系统中介绍的主坐标方法或正则坐标方法都不再适用，振动分析将变得十分复杂，为了能沿用无阻尼系统中的分析方法，工程中常采用下列近似处理方法。(1)忽略矩阵中的全部非对角元素则令是第i阶振型阻尼比或模态阻尼比。（2）将矩阵C假设为比例阻尼假定C有下列形式：，a,b：为常数

7、代入中相对阻尼系数：