燕尾定理（二）

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1、年级五年级学科奥数版本通用版课程标题燕尾定理（二）编稿老师宋玲玲一校黄楠二校林卉审核张舒本节课学习利用燕尾定理添加辅助线，以解决复杂的图形问题及生活中的实际问题。燕尾定理与鸟头定理、三角形等高定理、蝴蝶定理等联系紧密，常结合在一起使用，学习完这些定理后，应注意它们的区别，并找到最简捷的方式解决图形问题（如本节例4）。燕尾定理——因此图类似燕尾而得名，是一个关于三角形的定理。如图△ABC，D、E、F分别为BC、CA、AB上的点，满足AD、BE、CF交于同一点O。：＝：＝BD：CD：＝：＝AF：BF：＝：＝EC：AE上述定理给出了一个新的转化面积比与线段比的手段，该定理在许多几何题目中都有

2、着广泛的运用，它的特殊性在于，它可以存在于任何一个三角形之中，为三角形中的三角形面积与对应底边之间提供互相联系的途径。需要构造燕尾定理的几何题一般有两个特征：（1）边上有等分点（比例）；（2）三角形内部有由顶点引发的线段的交点。例1在△ABC中，CE＝2AE，F是AD的中点，△ABC的面积是1，则阴影部分的面积是________。第9页版权所有不得复制分析与解：如图，连结FC。设＝a，因为CE＝2AE，所以＝2a；又因为F是AD的中点，所以＝＝a＋2a＝3a；又根据燕尾定理，：＝AE：CE＝1：2，＝，所以＝＝＝3a。所以＝a＋2a＋3a＋3a＋3a＝12a，阴影面积是＝。例2如图，长

3、方形ABCD的面积是2平方厘米，EC＝2DE，F是DG的中点。阴影部分的面积是________平方厘米。分析与解：如图，连结FC。设＝a，因为CE＝2DE，所以＝2a；第9页版权所有不得复制又因为F是DG的中点，所以＝＝a＋2a＝3a；又根据燕尾定理，：＝DE：CE＝1：2，＝，所以＝＝＝3a。所以＝a＋2a＋3a＋3a＋3a＝12a，阴影面积是＝（平方厘米）。此题是例1的变式题，仔细看长方形中的三角形BCD，所有条件和例1完全一样，只是两个三角形形状不同。例3如图所示，AE：EC＝1：2，CD：DB＝1：4，BF：FA＝1：3，三角形ABC的面积等于1，那么四边形AFHG的面积是__

4、________。分析与解：连结AH、CG。因为AE：EC＝1：2，所以由燕尾定理可知：＝：＝AE：EC＝1：2；因为BF：FA＝1：3，所以由燕尾定理可知：＝：＝BF：FA＝1：3；第9页版权所有不得复制所以：：＝1：2：6，而＋＋＝1，所以＝，＝。因为CD：DB＝1：4，所以：＝CD：DB＝1：4；所以：：＝1：2：12。＝。四边形AFHG的面积是－＝。例4一块三角形草坪前，工人王师傅正在用剪草机剪草坪。一看到小灵通，王师傅热情地招呼说：“小灵通，听说你很会动脑筋，我也想问问你，这块草坪我把它分成东、西、南、北四部分（如图）。修剪西部、东部、南部各需10分钟，16分钟，20分钟，请

5、你想一想修剪北部需要多少分钟？分析与解：首先，每块草坪的面积比就是修剪各块所需要的时间比，可以把北面分成“一”和“二”两个部分，那么面积比：“一”：“东”＝“西”：“南”，所以修剪“一”需要8分钟，再来看“二”，有：“二”：（“一”＋“东”）＝（“北”＋“西”）：（“南”＋“东”）即“二”：24＝（“二”＋10＋8）：36，第9页版权所有不得复制所以修剪二号区域就要36分钟，那么修剪北部一共需要8＋36＝44分钟。本题也可以连结AG，利用燕尾定理来解决，我们连结DE，利用高相等的两个三角形的面积比等于底边之比来解决。例5如图，△ABC中，G是AC的中点，D、E、F是BC边上的四等分点，

6、AD与BG交于M，AF与BG交于N，已知△ABM的面积比四边形FCGN的面积大7.2平方厘米，则△ABC的面积是多少平方厘米？分析与解：连结CM、CN。根据燕尾定理，：＝AG：GC＝1：1，：＝BD：CD＝1：3，所以＝；再根据燕尾定理，：＝AG：GC＝1：1，所以：＝4：3，所以第9页版权所有不得复制AN：NF＝4：3，那么，所以。根据题意，有，可得（平方厘米）。（答题时间：30分钟）1.在三角形ABC中，，，求等于多少？2.三角形ABC的面积为15平方厘米，D为AB中点，E为AC中点，F为BC中点，CD交BE于O，CD交EF于M，求阴影部分的面积。3.如图所示，在四边形中，，，四边

7、形的面积是12，那么平行四边形的面积为多少？4.如图，三角形ABC的面积是1，求四边形MNQP的面积是多少？第9页版权所有不得复制5.已知四边形ABCD、CHFG为正方形，，a与b是两个正方形的边长，求等于多少？第9页版权所有不得复制1.解：连结OC，因为，所以,，所以。2.解：连结AO，利用燕尾定理可以得到，，所以（平方厘米）。利用等高三角形的面积比等于底之比可得（平方厘米），利用相似三角形的面积比等于相似比的平方可得（平方厘米）。所以阴影部