学年高中苏教版 数学选修4-4 4.2 曲线的极坐标方程

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1、4.2　曲线的极坐标方程4．2.1曲线的极坐标方程的意义1．曲线的极坐标方程一般地，如果一条曲线上任意一点都有一个极坐标适合方程f(ρ，θ)＝0；并且，极坐标适合方程f(ρ，θ)＝0的点都在曲线上．那么这个方程称为这条曲线的极坐标方程，这条曲线称为这个极坐标方程的曲线．2．求曲线的极坐标方程的基本步骤(1)建系(建立适当的极坐标系)；(2)设点(在曲线上任取一点P(ρ，θ)，使点与坐标对应)；(3)列式(根据曲线上的点所满足的条件列出等式)；(4)化简(用极坐标ρ，θ表示上述等式，化简得极坐标方程)；(5)证明(证明所得的方程是曲线的极坐标方程)．3．直角坐标方程与极坐标方程的互化或1．曲

2、线的极坐标方程与直角坐标方程的含义有什么不同？【提示】　由于平面上点的极坐标的表示形式不惟一，即(ρ，θ)，(ρ，2π＋θ)，(－ρ，π＋θ)，(－ρ，－π＋θ)都表示同一点的坐标，这与点的直角坐标的惟一性明显不同．所以对于曲线上的点的极坐标的多种表示形式，只要求至少有一个能满足极坐标方程即可．例如对于极坐标方程ρ＝θ，点M(，)可以表示为(，＋2π)或(，－2π)或(－，)等多种形式，其中，只有(，)的极坐标满足方程ρ＝θ.2．在极坐标系内，如何确定某一个点P是否在某曲线C上？【提示】　在直角坐标系内，曲线上每一点的坐标一定适合它的方程，可是在极坐标系内，曲线上一点的所有坐标不一定都适合

3、方程，所以在极坐标系内，确定某一个点P是否在某一曲线C上，只需判断点P的极坐标中是否有一个坐标适合曲线C的方程即可．求曲线的极坐标方程　(1)求过点A(1,0)且倾斜角为的直线的极坐标方程；(2)在极坐标系中，求半径为r，圆心为C(r，π)的圆的极坐标方程．【自主解答】　(1)如图，设M(ρ，θ)(ρ≥0)为直线上除点A以外的任意一点，则∠xAM＝，∠OAM＝，∠OMA＝－θ，在△OAM中，由正弦定理得＝，即＝，所以ρsin(－θ)＝，即ρ(sincosθ－cossinθ)＝，化简，得ρ(cosθ－sinθ)＝1，经检验点A(1,0)的坐标适合上述方程，所以满足条件的直线的极坐标方程为ρ(

4、cosθ－sinθ)＝1.(2)由题意知，圆经过极点O，设OA为其一条直径，设M(ρ，θ)为圆上除点O，A以外的任意一点，如图，则OA＝2r，连接AM，则OM⊥MA，在Rt△OAM中，OM＝OAcos∠AOM，即ρ＝2rcos(－θ)，即ρ＝－2rsinθ，经验证，点O(0,0)，A(2r，)的坐标皆满足上式，所以满足条件的圆的极坐标方程为ρ＝－2rsinθ.(1)求从极点出发，倾斜角为的射线的极坐标方程．(2)在极坐标平面上，求圆心为A，半径为5的圆的方程．【解】　(1)设M(ρ，θ)是所求射线上的任意一点，则射线OM就是集合ρ＝.所以所求射线的极坐标方程是θ＝(ρ≥0)．(2)在圆上任

5、取一点P(ρ，θ)，那么，在△AOP中，OA＝8，AP＝5，∠AOP＝－θ或θ－.由余弦定理得52＝82＋ρ2－2×8×ρ×cos(θ－)，即ρ2－16ρcos＋39＝0为所求圆的极坐标方程.直角坐标方程与极坐标方程的互化　进行直角坐标方程与极坐标方程的互化．(1)y2＝4x；(2)y2＋x2－2x－1＝0；(3)θ＝；(4)ρcos2＝1；(5)ρ2cos2θ＝4；(6)ρ＝.【自主解答】　(1)将x＝ρcosθ，y＝ρsinθ代入y2＝4x，得(ρsinθ)2＝4ρcosθ，化简得ρsin2θ＝4cosθ.(2)将x＝ρcosθ，y＝ρsinθ代入y2＋x2－2x－1＝0得(ρsinθ

6、)2＋(ρcosθ)2－2ρcosθ－1＝0，化简得ρ2－2ρcosθ－1＝0.(3)tanθ＝.∴tan＝＝，化简得y＝x(x≥0)．(4)∵ρcos2＝1.∴ρ＝1即ρ＋ρcosθ＝2.∴＋x＝2，化简得y2＝－4(x－1)．(5)∵ρ2cos2θ＝4，∴ρ2(cos2θ－sin2θ)＝4，即ρ2cos2θ－ρ2sin2θ＝4，∴x2－y2＝4.(6)∵ρ＝，∴2ρ－ρcosθ＝1，∴2－x＝1，化简得3x2＋4y2－2x－1＝0.进行直角坐标方程与极坐标方程的互化．(1)y＝x；(2)x2－y2＝1；(3)ρcosθ＝2；(4)ρ＝2cosθ.【解】　(1)将x＝ρcosθ，y＝ρs

7、inθ代入y＝x得ρsinθ＝ρcosθ，从而θ＝.(2)将x＝ρcosθ，y＝ρsinθ代入x2－y2＝1，得ρ2cos2θ－ρ2sin2θ＝1，化简，得ρ2＝.(3)∵ρcosθ＝2，∴x＝2，是过点(2,0)且垂直于x轴的直线．(4)∵ρ＝2cosθ，∴ρ2＝2ρcosθ，∴x2＋y2－2x＝0，即(x－1)2＋y2＝1.故曲线是圆心在(1,0)，半径为1的圆.极坐标方程的应用　已知曲线C1，C2的极坐标方程分别为