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《高中数学 4.2 曲线的极坐标方程单元测试 苏教版选修4-4》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、4.2曲线的极坐标方程单元测试1.已知点P(,),若点P的极角θ满足-π<θ<π,ρ∈R,下列点中与点P重合的是()A.(,),(,),(,)B.(,),(,),(,)C.(,),(,),(,-)D.(,-)解析:当-π≤θ≤π时,ρ≥0(或ρ≤0)时,除极点外,点极坐标唯一.当ρ∈R时,一个点的极坐标只有两个形式(,-)或(,).答案:D2.圆ρ=(cosθ+sinθ)的圆心的坐标是()A.(1,)B.(,)C.(,)D.(2,)解析:圆的方程可化为ρ=2cos(θ-).这是ρ=2rcos(θ-θ0)的形式,它的圆
2、心为O1(r,θ0),本题也可化为直角坐标方程求解.答案:A3.极坐标系中,方程ρ=cosθ(θ∈［0,π］,ρ∈R)表示的曲线是()A.以(,0)为圆心,半径为的上半个圆B.以(,0)为圆心,半径为的圆C.以(1,0)为圆心,半径为的上半个圆D.以(,)为圆心,半径为的圆解析:当ρ≥0时,θ∈［0,］,方程ρ=cosθ表示上半个圆,半径为;当ρ≤0时,θ∈［,π］,方程表示下半个圆,半径为.答案:B4.方程ρ=sinθ+cosθ+K的曲线不经过极点,则K的取值范围是()A.K≠0B.K∈RC.
3、K
4、>D.
5、K
6、≤解
7、析:当ρ=0时,sinθ+cosθ=-K,若此方程无解,由
8、sinθ+cosθ
9、≤,∴当
10、K
11、>时,方程无解.答案:C5.在极坐标系中,点P(2,)到直线ρsin(θ-)=1的距离等于()A.1B.2C.3D.1+解析:∵xP=2cos=,yP=2sin=-1,∴P点的直角坐标为(,-1).又直线ρsin(θ-)=1化为直角坐标方程为y-x-1=0.∴P点到直线的距离为d=
12、-·-1
13、=1+.答案:D6.点M在直线ρcosθ=a(a>0)上,O为极点,延长OM到P使
14、MP
15、=b(b>0),则P的轨迹方程是______
16、.解析:设M(ρ0,θ0),P(ρ,θ),则ρ0cosθ0=a,ρ=ρ0+b,θ0=θ,代入即可.答案:(ρ-b)cosθ=a7.证明过A(ρ1,θ1)和B(ρ2,θ2)两点的直线l的极坐标方程是.证明:设M(ρ,θ)为直线AB上一点,如图,∵S△AOB=ρ1ρ2sin(θ2-θ1),S△AOM=ρρ1sin(θ-θ1),S△BOM=ρρ2sin(θ2-θ),又S△AOB=S△AOM+S△BOM,∴ρ1ρ2sin(θ2-θ1)=ρρ1sin(θ-θ1)+ρρ2sin(θ2-θ),即.8.已知圆ρ=2,直线ρcosθ=
17、4,过极点作射线交圆于A,直线于B,求AB中点M的轨迹方程.解:如图,设M(ρ,θ),A(ρ1,θ1),B(ρ2,θ2),则有∴(2ρ-2)cosθ=4ρ=2secθ+1.9.从极点O作圆C:ρ=8cosθ的弦ON,求ON的中点M的轨迹方程.解法一:如图,圆C的圆心C(4,0),半径r=
18、OC
19、=4,连结CM.∵M为弦ON的中点,∴CM⊥ON.故M在以OC为直径的圆上.∴动点M的轨迹方程是ρ=4cosθ.解法二:解法一是定义法,下面我们用转移法来解决这个问题:设M点的坐标是(ρ,θ),N(ρ1,θ1).N点在圆ρ=8
20、cosθ上,∴ρ1=8cosθ1,(*)∵M是ON的中点,∴将它代入(*)式得2ρ=8cosθ,故M的轨迹方程是ρ=4cosθ.10.从原点O引直线交直线2x+4y-1=0于点M，P为OM上一点，已知
21、OP
22、·
23、OM
24、=1，求P点的极坐标方程.思路分析:先把直线化为极坐标方程,由于P点的运动与M点有关,可以利用转移法来解决问题.我们可以根据长度之间的关系式找到点P与点M坐标之间的关系.解:如图,以O为极点,x轴正方向为极轴建立坐标系后,直线的方程化为2ρcosθ+4ρsinθ-1=0.设M(ρ0,θ0),P(ρ,θ)
25、,则2ρ0cosθ0+4ρ0sinθ0-1=0.又∴2cosθ+4sinθ-1=0.∴ρ=2cosθ+4sinθ,这是一个圆(ρ≠0).11.O为已知圆外的定点,M在圆上,以OM为边作正△OMN,当点M在圆上移动时,求点N的轨迹方程(O、M、N逆时针排列).解:以O为极点,以O和已知圆圆心O′所在射线为极轴,建立极坐标系,如图,设
26、OO′
27、=ρ0,圆的半径为r,那么圆的极坐标方程为ρ2-2ρ0ρcosθ+ρ02-r2=0,设N(ρ,θ),M(ρ1,θ1),∵M在圆上,∴ρ12-2ρ0ρ1cosθ1+ρ02-r2=0.
28、(1)∵△OMN为正三角形,∴代入①得ρ2-2ρ0ρcos(θ-)+ρ02-r2=0,这就是点N的轨迹方程.12.曲线的极坐标方程ρ=4sinθ化为直角坐标方程是()A.x2+(y+2)2=1B.x2+(y-2)2=4C.(x-2)2+y2=4D.(x+2)2+y2=4解析:在ρ=4sinθ两边同时乘以ρ得ρ2=4ρ·sinθ.再利用可得x2+
