2018版高中数学 第2章 圆锥曲线与方程 2.1 圆锥曲线学案 苏教版选修2-1

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1、2.1圆锥曲线[学习目标]　1.了解圆锥曲线的实际背景.2.经历从具体情境中抽象出圆锥曲线的过程.3.掌握椭圆、抛物线的定义和几何图形.4.了解双曲线的定义和几何图形．知识点一　椭圆的定义平面内到两个定点F1，F2的距离的和等于常数(大于F1F2)的点的轨迹叫做椭圆，两个定点F1，F2叫做椭圆的焦点．两焦点间的距离叫做椭圆的焦距．知识点二　双曲线的定义平面内到两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于常数(小于F1F2的正数)的点的轨迹叫做双曲线，两个定点F1，F2叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距．知识点三　抛物线的定义平面内到一个定点F和一条定直线l(F不在l上)的

2、距离相等的点的轨迹叫做抛物线，定点F叫做抛物线的焦点，定直线l叫做抛物线的准线．思考　1．若动点M到两个定点F1、F2距离之和满足MF1＋MF2＝F1F2，则动点M轨迹是椭圆吗？答案　不是，是线段F1F2.2．若动点M到两个定点F1、F2距离之差满足MF1－MF2＝2a(2a＜F1F2)，则动点M轨迹是什么？答案　是双曲线一支．题型一　椭圆定义的应用例1　在△ABC中，B(－6,0)，C(0,8)，且sinB，sinA，sinC成等差数列．(1)顶点A的轨迹是什么？(2)指出轨迹的焦点和焦距．解　(1)由sinB，sinA，sinC成等差数列，得sinB＋sinC＝2sinA．由正

3、弦定理可得AB＋AC＝2BC.又BC＝10，所以AB＋AC＝20，且20>BC，所以点A的轨迹是椭圆(除去直线BC与椭圆的交点)．(2)椭圆的焦点为B、C，焦距为10.反思与感悟　本题求解的关键是把已知条件转化为三角形边的关系，找到点A满足的条件．注意A、B、C三点要构成三角形，轨迹要除去两点．跟踪训练1　已知圆A：(x＋3)2＋y2＝100，圆A内一定点B(3,0)，动圆M过B点且与圆A内切，求证：圆心M的轨迹是椭圆．证明　设MB＝r.∵圆M与圆A内切，圆A的半径为10，∴两圆的圆心距MA＝10－r，即MA＋MB＝10(大于AB)．∴圆心M的轨迹是以A、B两点为焦点的椭圆．题型二

4、　双曲线定义的应用例2　已知圆C1：(x＋2)2＋y2＝1和圆C2：(x－2)2＋y2＝9，动圆M同时与圆C1及圆C2相外切，求动圆圆心M的轨迹．解　由已知得，圆C1的圆心C1(－2,0)，半径r1＝1，圆C2的圆心C2(2,0)，半径r2＝3.设动圆M的半径为r.因为动圆M与圆C1相外切，所以MC1＝r＋1.①又因为动圆M与圆C2相外切，所以MC2＝r＋3.②②－①得MC2－MC1＝2，且2

5、2－MC1＝2中没有绝对值，所以轨迹是双曲线的一支，又圆C1与圆C2相切于点(－1,0)，所以M的轨迹不过(－1,0)．跟踪训练2　在△ABC中，BC固定，顶点A移动．设BC＝m，且

6、sinC－sinB

7、＝sinA，则顶点A的轨迹是什么？解　因为

8、sinC－sinB

9、＝sinA，由正弦定理可得

10、AB－AC

11、＝BC＝m，且m

12、＋y＋6＝0的距离，又由＝1知点M到定点(1,1)的距离等于点M到直线x＋y＋6＝0的距离．由抛物线的定义知点M的轨迹是抛物线．反思与感悟　若将方程两边展开整理，然后通过方程的特点来判断，将很难得到结果，而利用方程中表达式的几何意义，再由抛物线定义，问题就变得非常简单．跟踪训练3　点P到点F(4,0)的距离比它到直线l：x＝－6的距离小2，则点P的轨迹为________．答案　抛物线解析　将直线l：x＝－6向右平移2个单位，得直线l′：x＝－4.依题意知，点P到F(4,0)的距离等于点P到l′：x＝－4的距离，可见点P的轨迹是抛物线．1．设定点F1(0，－3)，F2(0,3)，动点

13、P(x，y)满足条件PF1＋PF2＝a(a>0)，则动点P的轨迹是__________________．答案　椭圆或线段或不存在解析　当a＜6时，轨迹不存在；当a＝6时，轨迹为线段；当a＞6时，轨迹为椭圆．2．已知△ABC的顶点A(－5,0)、B(5,0)，△ABC的内切圆圆心在直线x＝3上，则顶点C的轨迹是____________．答案　以A、B为焦点的双曲线的右支(除去点(3,0))解析　如图，AD＝AE＝8.BF＝BE＝2，CD＝CF，所以CA－CB＝8－2＝6