高中数学苏教版选修2-1第2章《圆锥曲线与方程》(2.1)word学案

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1、www.ks5u.com2.2 椭 圆2.2.1 椭圆的标准方程[学习目标] 1.掌握椭圆的标准方程.2.会求椭圆的标准方程.3.能用标准方程判断曲线是不是椭圆.[知识链接]命题甲:动点P到两定点A、B的距离之和PA+PB=2a(a>0且a为常数);命题乙:点P的轨迹是椭圆,且A、B是椭圆的焦点,则命题甲是命题乙的________条件.答案 必要不充分解析 若P点的轨迹是椭圆,则一定有PA+PB=2a(a>0且a为常数),所以命题甲是命题乙的必要条件.若PA+PB=2a(a>0且a为常数),不能推出P点的轨迹是椭圆.这是因为:仅当2a>AB时,P点的轨迹是椭圆;而当2a=AB时,P点的轨

2、迹是线段AB;当2ab>0)+=1(a>b>0)焦点(-c,0),(c,0)(0,-c),(0,c)a、b、c的关系c2=a2-b2c2=a2-b2要点一 用待定系数法求椭圆的标准方程例1 (1)已知椭圆的两个焦点坐标分别是(-2,0),(2,0),并且经过点,求它的标准方

3、程;(2)若椭圆经过两点(2,0)和(0,1),求椭圆的标准方程.解 (1)方法一 ∵椭圆的焦点在x轴上,∴设它的标准方程为+=1(a>b>0).由椭圆的定义知2a=+=2,∴a=.又∵c=2,∴b2=a2-c2=10-4=6.∴所求椭圆的标准方程为+=1.方法二 设标准方程为+=1(a>b>0).依题意得解得∴所求椭圆的标准方程为+=1.(2)方法一 当椭圆的焦点在x轴上时,设所求椭圆的标准方程为+=1(a>b>0).∵椭圆经过两点(2,0),(0,1),∴ 则∴所求椭圆的标准方程为+y2=1;当椭圆的焦点在y轴上时,设所求椭圆的标准方程为+=1(a>b>0).∵椭圆经过两点(2,0)

4、,(0,1),∴ 则与a>b矛盾,故舍去.综上可知,所求椭圆的标准方程为+y2=1.方法二 设椭圆方程为mx2+ny2=1(m>0,n>0,m≠n).∵椭圆过(2,0)和(0,1)两点,∴ ∴综上可知,所求椭圆的标准方程为+y2=1.规律方法 求椭圆的标准方程时,要“先定型,再定量”,即要先判断焦点位置,再用待定系数法设出适合题意的椭圆的标准方程,最后由条件确定待定系数即可.当所求椭圆的焦点位置不能确定时,应按焦点在x轴上和焦点在y轴上进行分类讨论,但要注意a>b>0这一条件.当已知椭圆经过两点,求椭圆的标准方程时,把椭圆的方程设成mx2+ny2=1(m>0,n>0,m≠n)的形式有两个

5、优点:①列出的方程组中分母不含字母;②不用讨论焦点所在的坐标轴,从而简化求解过程.跟踪演练1 求适合下列条件的标准方程:(1)两个焦点坐标分别是(-3,0),(3,0),椭圆经过点(5,0);(2)两个焦点坐标分别是(0,5),(0,-5),椭圆上一点P到两焦点的距离之和为26.解 (1)因为椭圆的焦点在x轴上,所以设它的标准方程为+=1(a>b>0).因为2a=+=10,2c=6,所以a=5,c=3,所以b2=a2-c2=52-32=16.所以所求椭圆的标准方程为+=1.(2)因为椭圆的焦点在y轴上,所以设它的标准方程为+=1(a>b>0).因为2a=26,2c=10,所以a=13,c

6、=5.所以b2=a2-c2=144.所以所求椭圆的标准方程为+=1.要点二 由方程确定曲线的类型例2 当30且k-3>0.(1)若9-k>k-3,即3

7、关的轨迹问题例3 已知B、C是两个定点,BC=8,且△ABC的周长等于18.求这个三角形的顶点A的轨迹方程.解 以过B、C两点的直线为x轴,线段BC的垂直平分线为y轴,建立直角坐标系xOy.如图所示.由BC=8,可知点B(-4,0),C(4,0).由AB+AC+BC=18,得AB+AC=10>BC=8,因此,点A的轨迹是以B、C为焦点的椭圆,这个椭圆上的点与两焦点的距离之和2a=10;但点A不在x轴上.由a=5,c=4,得b2=a2

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