2018-2019高中数学 第2章 圆锥曲线与方程 2.1 圆锥曲线学案 苏教版选修2-1

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1、§2.1　圆锥曲线学习目标　1.了解当一个平面截一个圆锥面时，所截得的图形的各种情况.2.初步掌握椭圆、双曲线、抛物线的定义及其几何特征.3.通过平面截圆锥面的实验和对有关天体运动轨道的了解，知道圆锥曲线在我们身边广泛存在．知识点一　椭圆的定义观察图形，思考下列问题：思考1　如图，把细绳两端拉开一段距离，分别固定在图板上的两点F1，F2处，套上铅笔，拉紧绳子，移动笔尖，画出的轨迹是什么图形？答案　椭圆思考2　图中移动的笔尖始终满足怎样的几何条件？答案　PF1＋PF2是常数(大于F1F2)．梳理　平面内到两个定点F1，F2的距离的和等于常数(大于F1F2)的点的轨迹叫做椭圆，两个

2、定点F1，F2叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距．知识点二　双曲线的定义观察图示，若固定拉链上一点F1或F2，拉开或闭拢拉链，拉链头M经过的点可画出一条曲线，思考下列问题：思考1　图中动点M的几何性质是什么？答案　

3、MF1－MF2

4、为一个正常数．思考2　若MF1－MF2＝F1F2，则动点M的轨迹是什么？答案　以F2为端点，向F2右边延伸的射线．梳理　平面内到两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于常数(小于F1F2的正数)的点的轨迹叫做双曲线，两个定点F1，F2叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距．知识点三　抛物线的定义观察图形，思考下列问题：思考　如图

5、，定点C和定直线EF，用三角板画出到定点的距离等于到定直线的距离的动点D的轨迹．则动点D的轨迹是什么？其满足什么条件？答案　抛物线，动点D到定点C和定直线EF距离相等，且C不在EF上．梳理　平面内到一个定点F和一条定直线l(F不在l上)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，定点F叫做抛物线的焦点，定直线l叫做抛物线的准线．椭圆、双曲线、抛物线统称为圆锥曲线．1．平面内到两定点的距离之和为常数的点的轨迹是椭圆．(×)2．平面内到两定点的距离之差的绝对值为常数的点的轨迹是双曲线．(×)3．抛物线上的点到焦点的距离与到准线的距离相等．(√)类型一　圆锥曲线定义的理解例1　平面内动点M到两点

6、F1(－3,0)，F2(3,0)的距离之和为3m，问m取何值时M的轨迹是椭圆？解　∵MF1＋MF2＝3m，∴M到两定点的距离之和为常数，当3m大于F1F2时，由椭圆定义知，M的轨迹为椭圆，∴3m＞F1F2＝3－(－3)＝6，∴m＞2，∴当m＞2时，M的轨迹是椭圆．反思与感悟　在深刻理解圆锥曲线的定义的过程中，一定要注意定义中的约束条件(1)在椭圆中，和为定值且大于F1F2.(2)在双曲线中，差的绝对值为定值且小于F1F2.(3)在抛物线中，点F不在定直线上．跟踪训练1　(1)命题甲：动点P到两定点A，B的距离之和PA＋PB＝2a(a＞0，a为常数)；命题乙：P点轨迹是椭圆，则命

7、题甲是命题乙的________条件．(2)动点P到两个定点A(－2,0)，B(2,0)构成的三角形的周长是10，则点P的轨迹是________．答案　(1)必要不充分　(2)椭圆解析　(1)若P点轨迹是椭圆，则PA＋PB＝2a(a＞0，且为常数)，∴甲是乙的必要条件．反之，若PA＋PB＝2a(a＞0，且是常数)，不能推出P点轨迹是椭圆．因为仅当2a＞AB时，P点轨迹才是椭圆；而当2a＝AB时，P点轨迹是线段AB；当2a＜AB时，P点无轨迹，∴甲不是乙的充分条件．综上，甲是乙的必要不充分条件．(2)由题意知PA＋PB＋AB＝10，又AB＝4，∴PA＋PB＝6＞4.∴点P的轨迹是椭

8、圆．类型二　圆锥曲线轨迹的探究例2　如图，已知动圆C与圆F1，F2均外切(圆F1与圆F2相离)，试问：动点C的轨迹是什么曲线？解　设动圆C的半径为R，圆F1，F2的半径分别为r1，r2，则CF1＝R＋r1，CF2＝R＋r2.所以CF1－CF2＝r1－r2.又CF1－CF2＝r1－r2

9、)的距离比它到直线x＝1的距离大2，试判断动点P的轨迹．解　因点P到A的距离比它到直线x＝1的距离大2，所以点P到点A的距离等于它到直线x＝3的距离．因为点A不在直线x＝3上，所以点P的轨迹是抛物线．类型三　圆锥曲线定义的应用例3　在△ABC中，B(－6,0)，C(0,8)，且sinB，sinA，sinC成等差数列．(1)顶点A的轨迹是什么？(2)指出轨迹的焦点和焦距．解　(1)由sinB，sinA，sinC成等差数列，得sinB＋sinC＝2sinA．由正弦定理可得AB＋AC＝2BC.又B