2018版高中数学 第二章 数列 2.2.1 等差数列 第1课时 等差数列学案 新人教b版必修5

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1、第1课时　等差数列1.理解等差数列的概念.(难点)2.掌握等差数列的通项公式及运用.(重点、难点)3.掌握等差数列的判定方法.(重点)[基础·初探]教材整理1　等差数列的含义阅读教材P35第一行～P35例1，完成下列问题.等差数列的概念(1)文字语言：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母d表示.(2)符号语言：an＋1－an＝d(d为常数，n∈N＋).判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)若一个数列从第2项起每一项与它的前一项

2、的差都是常数，则这个数列是等差数列.(　　)(2)如果一个无穷数列{an}的前4项分别是1,2,3,4，则它一定是等差数列.(　　)(3)当公差d＝0时，数列不是等差数列.(　　)(4)若三个数a，b，c满足2b＝a＋c，则a，b，c一定是等差数列.(　　)【解析】　(1)×.因为若这些常数都相等，则这个数列是等差数列；若这些常数不全相等，则这个数列就不是等差数列.(2)×.因为一个无穷数列前四项构成公差为1的等差数列，往后各项与前一项的差未必是同一个常数1.(3)×.因为该数列满足等差数列的定义，所以该数列为等差数列，事实

3、上它是一类特殊的数列——常数列.(4)√.因a，b，c满足2b＝a＋c，即b－a＝c－b，故a，b，c为等差数列.【答案】　(1)×　(2)×　(3)×　(4)√教材整理2　等差数列的通项公式及等差中项阅读教材P35倒数第5行～P37例3以上部分，完成下列问题.1.等差中项(1)条件：如果a，A，b成等差数列.(2)结论：那么A叫做a与b的等差中项.(3)满足的关系式是a＋b＝2A.2.等差数列的通项公式以a1为首项，d为公差的等差数列{an}的通项公式an＝a1＋(n－1)d.3.从函数角度认识等差数列{an}若数列{an

4、}是等差数列，首项为a1，公差为d，则an＝f(n)＝a1＋(n－1)d＝nd＋(a1－d).(1)点(n，an)落在直线y＝dx＋(a1－d)上；(2)这些点的横坐标每增加1，函数值增加d个单位.1.已知等差数列{an}中，首项a1＝4，公差d＝－2，则通项公式an＝________.【解析】　∵a1＝4，d＝－2，∴an＝4＋(n－1)×(－2)＝6－2n.【答案】　6－2n2.等差数列1，－1，－3，…，－89的项数是________.【解析】　由等差数列的通项公式an＝a1＋(n－1)d可知－89＝1＋(n－1)·(

5、－2)，所以n＝46.【答案】　463.方程x2＋6x＋1＝0的两根的等差中项为________.【解析】　设方程x2＋6x＋1＝0的两根分别为x1，x2，则x1＋x2＝－6，所以x1，x2的等差中项为A＝＝－3.【答案】　－3[小组合作型]等差数列的判定与证明　已知数列{an}的通项公式an＝pn2＋qn(p，q∈R，且p，q为常数).(1)当p和q满足什么条件时，数列{an}是等差数列？(2)求证：对任意实数p和q，数列{an＋1－an}是等差数列.【精彩点拨】　利用等差数列定义判断或证明an＋1－an为一个常数即可.【

6、自主解答】　(1)欲使{an}是等差数列，则an＋1－an＝[p(n＋1)2＋q(n＋1)]－(pn2＋qn)＝2pn＋p＋q应是一个与n无关的常数，所以只有2p＝0，即p＝0时，数列{an}是等差数列.(2)因为an＋1－an＝2pn＋p＋q，所以an＋2－an＋1＝2p(n＋1)＋p＋q.而(an＋2－an＋1)－(an＋1－an)＝2p为一个常数，所以{an＋1－an}是等差数列.等差数列的判定方法有以下三种：(1)定义法：an＋1－an＝d(常数)(n∈N＋)⇔{an}为等差数列；(2)等差中项法：2an＋1＝an＋

7、an＋2(n∈N＋)⇔{an}为等差数列；(3)通项公式法：an＝an＋b(a，b是常数，n∈N＋)⇔{an}为等差数列.但如果要证明一个数列是等差数列，则必须用定义法或等差中项法.[再练一题]1.判断下列数列是否是等差数列，并给出证明.(1)an＝4－2n；(2)an＝n2＋n.【解】　(1)是等差数列.证明如下：∵an＋1－an＝4－2(n＋1)－(4－2n)＝4－2n－2－4＋2n＝－2(常数)，∴{an}是等差数列，且公差为－2.(2)不是等差数列.证明如下：∵a1＝2，a2＝6，a3＝12，∴a2－a1≠a3－a2

8、，∴{an}不是等差数列.等差中项的应用　已知数列{xn}的首项x1＝3，通项xn＝2np＋nq(n∈N＋，p，q为常数)，且x1，x4，x5成等差数列，求p，q的值.【导学号：18082021】【精彩点拨】　将x1，x4，x5用p，q表示出来，由x1，x4，x5成等差数列，即2x4＝x1