2018版高考数学 专题2 指数函数、对数函数和幂函数章末复习提升学案 湘教版必修1

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1、专题2指数函数、对数函数和幂函数1．指数和对数(1)分数指数的定义：a＝(a＞0，m，n∈N，m≥2)，a＝(a＞0，m，n∈N，m≥2)．(2)如同减法是加法的逆运算，除法是乘法的逆运算一样，对数运算是指数运算的逆运算．ab＝N⇔logaN＝b(a＞0，a≠1，N＞0)．由此可得到对数恒等式：alogaN＝N，b＝logaab.(3)对数换底公式logaN＝(a＞0，b＞0，a≠1，b≠1，N＞0)的意义在于把各个不同底数的对数换成相同底数的对数，这样，一可以进行换算，二可以通过对数表求值．(4

2、)指数和对数的运算法则有：am·an＝am＋n，logaM＋logaN＝loga(MN)，(am)n＝amn，logaMn＝nlogaM，am÷an＝am－n，logaM－logaN＝loga.(a∈R＋，m，n∈R)(M，N∈R＋，a＞0，a≠1)．2．指数函数、对数函数和幂函数(1)要熟记这三个函数在不同条件下的图象，并能熟练地由图象“读”出该函数的主要性质；(2)同底数的指数函数和对数函数的图象关于直线y＝x成轴对称图形．由图可“读”出指数函数和对数函数的主要性质：指数函数对数函数(1)定义

3、域：R(1)定义域：R＋(2)值域：R＋(2)值域：R(3)过点(0,1)(3)过点(1,0)(4)a＞1时为增函数，0＜a＜1时为减函数(4)a＞1时为增函数，0＜a＜1时为减函数如果两个函数y＝f(x)和x＝g(x)描述的是同一个对应法则，则称这两个函数互为反函数．这时两者之间满足关系g(f(x))＝x和f(g(y))＝y，并且它们的图象关于直线y＝x成轴对称．函数f叫作g的反函数，g也叫作f的反函数．f的定义域是g的值域，f的值域是g的定义域，两者同为递增或递减．由上面反函数的定义，我们知道

4、，指数函数y＝ax(a＞0且a≠1)和同底数的对数函数y＝logax(a＞0且a≠1)互为反函数．这给研究对数函数的图象和性质带来了方便．(3)幂函数y＝xn在第一象限内的图象由幂指数的不同取值可分为三种走势．由下图，当n＞0时幂函数的主要性质是：①恒过(0,0)，(1,1)两点；②在区间[0，＋∞)上为增函数．当n＜0时幂函数的主要性质有：①恒过点(1,1)；②在区间(0，＋∞)上为递减函数；③图象走向和x轴、y轴正向无限接近．3．函数与方程(1)实系数一元二次方程当Δ＞0时有两个不等实根；当Δ

5、＝0时有两个相等实根；当Δ＜0时无实数根．(2)方程f(x)＝0的解就是函数y＝f(x)的图象和x轴交点的横坐标，也叫作函数的零点；方程f(x)＝g(x)的解也就是两个函数y＝f(x)和y＝g(x)图象交点的横坐标．(3)可以用二分法或其他近似方法求得函数零点的近似值．4．函数模型及其应用(1)目前我们能建立的函数模型主要是一次函数，二次函数，幂函数，指数函数和对数函数的模型；(2)建模的目的是：模拟实际问题和用模拟函数的性质去推测判断未进行测量或不便测量的数据，特别是实际问题的未来走势；(3)建

6、模的大致步骤是：了解和简化实际问题，建立实际问题的数学模型，分析所得数学模型，把模型所判断的结论和实际模型的表现加以比较，改进数学模型.题型一　有关指数、对数的运算问题指数与指数运算、对数与对数运算是两个重要的知识点，不仅是本章考查的重要题型，也是高考的必考内容．指数式的运算首先要注意化简顺序，一般负指数先转化成正指数，根式化为指数式；其次若出现分式，则要注意把分子、分母因式分解以达到约分的目的．对数运算首先要注意公式应用过程中范围的变化，前后要等价；其次要熟练地运用对数的三个运算性质，并根据具体

7、问题合理利用对数恒等式和换底公式等．换底公式是对数计算、化简、证明常用的公式，一定要掌握并灵活运用．例1　(1)化简÷×；(2)计算：2log32－log3＋log38－25log53.解　(1)原式＝××ab＝×a×ab＝a.(2)原式＝log34－log3＋log38－52log53＝log3(4××8)－52log53＝log39－9＝2－9＝－7.跟踪演练1　(1)求＋5log52＋16的值．(2)已知x＞1，且x＋x－1＝6，求x－x.解　(1)＋5log52＋16＝＋2＋(24)＝＋2

8、＋8＝11.(2)2＝x＋x－1－2＝6－2＝4，又x＞1，∴x－x＞0，∴－x＝2.题型二　指数函数、对数函数及幂函数的图象与性质函数的图象是研究函数性质的前提和基础，它较形象直观地反映了函数的一切性质．教材对幂、指、对三个函数的性质的研究也正好体现了由图象到性质，由具体到抽象的过程，突出了函数图象在研究相应函数性质时的作用．例2　已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，当x≥0时，f(x)＝x.(1)画出函数f(x)的图象；(2)根据图象写出f(x)的单调区间，并写出函数的值域．