2018版高考数学 专题2 指数函数、对数函数和幂函数 2.2.2 换底公式学案 湘教版必修1

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1、2.2.2　换底公式[学习目标]　1.能记住换底公式，并会证明换底公式.2.会利用换底公式解决一些对数式的化简、求值、证明问题.3.能综合利用对数的相关知识解决问题．[预习导引]1．对数的换底公式换底公式：logaN＝(a＞0，a≠1，c＞0，c≠1，N＞0)．最常用的换底公式是logaN＝和logaN＝.2．换底公式的两个重要推论(1)logambn＝logab.(2)logab＝.解决学生疑难点______________________________________________________

2、___________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________要点一　利用换底公式求值或化简例1　求解下列各题：(1)化简(log43＋log83)；(2)已知log1227＝a，求log616的值．解　(1)方法一　原式＝＝·＝·＋·＝＋＝.方

3、法二　原式＝(log223＋log233)·log32＝·log32＝log23·log32＝.(2)方法一　由log1227＝a，得＝a，∴lg2＝lg3.∴log616＝＝＝＝.方法二　由于log1227＝log1233＝3log123＝a，∴log123＝.于是log312＝，即1＋2log32＝.因此log32＝.而log616＝4log62＝＝＝＝＝.故log616＝.规律方法　1.利用对数的换底公式计算化简时，通常有以下几种思路：一是先依照运算性质：利用对数的运算法则及性质进行部分运算，最后再

4、换成同一底．二是一次性地统一换为常用对数，再化简、通分、求值．三是将式子中的对数的底数及真数改写为幂的形式，然后利用变形logambn＝logab.对出现的对数进行化简，当底数和真数都较小时，容易发现它们之间的关系，然后再借助对数的运算法则求值．2．对于换底公式，除了正用以外，也要注意其逆用以及变形应用．跟踪演练1　(1)求值：log89·log2732.(2)已知log23＝a，log37＝b，试用a，b表示log1456.解　(1)方法一　log89·log2732＝·＝·＝.方法二　log89·lo

5、g2732＝log2332·log3325＝log23·log32＝.(2)∵log23＝a，∴log37＝＝＝b.∴log27＝ab.∴log1456＝＝＝＝.要点二　利用对数的换底公式证明等式例2　已知a，b，c均为正数，3a＝4b＝6c，求证：＋＝.证明　不妨设3a＝4b＝6c＝m，则m＞0且m≠1，于是a＝log3m，b＝log4m，c＝log6m.则由换底公式可得＝logm3，＝logm4，＝logm6，于是＋＝2logm3＋logm4＝logm(32×4)＝logm36＝2logm6＝.因此等

6、式成立．规律方法　1.在已知条件中出现幂值相等的形式时，通常可以设出幂值的结果，然后将指数式转化为对数式，然后结合对数的换底公式、运算法则等进行化简和变形．2．由于对数的运算法则都是针对同底数的对数才能成立的，因此变换底数是解决对数式证明问题的重要环节，当出现的对数的底数不同，但真数相同时，可利用性质logab＝进行变换．跟踪演练2　已知2m＝5n＝10，求证：m＋n＝mn.证明　由已知可得m＝log210，n＝log510，因此＝lg2，＝lg5，于是＋＝lg2＋lg5＝lg10＝1，即＝1，故m＋n＝

7、mn.要点三　对数换底公式的综合应用例3　(1)已知11.2a＝1000,0.0112b＝1000，求－的值；(2)设logac，logbc是方程x2－3x＋1＝0的两根，求的值．解　(1)∵11.2a＝1000，∴lg11.2a＝lg1000，即a·lg11.2＝3，于是＝lg11.2.同理可得＝lg0.0112.于是－＝lg11.2－lg0.0112＝lg＝lg1000＝×3＝1.(2)由根与系数的关系可得由换底公式可知因此所以＝＝＝＝±.规律方法　对数的知识点的综合应用是本节的重点，它可能用到定义，

8、对数式与指数式的互化，也可能用到换底公式或对数运算的法则，还可能用到其他知识(如一元二次方程根与系数的关系)．解题时应该全方位、多角度地思考，甚至用不同的几种方法去解同一题，然后分析、比较，从而掌握巩固所学的知识．跟踪演练3　2＋比lg大(　　)A．3　　　　B．4　　　　C．5　　　　D．6答案　B解析　2＋－lg＝2＋lga－(lga－lg100)＝4.故选B.1．下列各式中错误的是(　　)A．logab·logba＝1