2018版高中数学 第一章 解三角形 1.2 余弦定理（二）学案 苏教版必修5

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1、1.2余弦定理（二）学习目标　1.熟练掌握余弦定理及其变形形式.2.会用余弦定理解决简单的实际问题.3.能利用正弦、余弦定理解决有关三角形的恒等式化简、证明及形状判断等问题．知识点一　已知两边及其中一边的对角解三角形思考　在△ABC中，若B＝30°，AB＝2，AC＝2，可以先用正弦定理＝求出sinC＝.那么能不能用余弦定理解此三角形？如果能，怎么解？　　梳理　已知两边及其一边的对角，既可先用正弦定理，也可先用余弦定理，满足条件的三角形个数为0,1,2，具体判断方法如下：设在△ABC中，已知a，b及A的值．由正弦定理＝，可求得sinB＝.(1)当A为

2、钝角时，则B必为锐角，三角形的解唯一；(2)当A为直角且a>b时，三角形的解唯一；(3)当A为锐角时，如图，以点C为圆心，以a为半径作圆，三角形解的个数取决于a与CD和b的大小关系：①当ab，则有A>B，所以B为锐角，此时B的值唯一．知识点二　判定三角形的形状思考1　三角形的形状类别很多，按边可分为等腰三角形，等边三角形，其他；按角可分为钝角三角形，直角三角形，锐角三角形．在判断三角形的形状时是

3、不是要一个一个去判定？　　思考2　△ABC中，sin2A＝sin2B，则A，B一定相等吗？　　梳理　判断三角形形状，首先看最大角是钝角、直角还是锐角；其次看是否有相等的边(或角)．在转化条件时要注意等价．知识点三　证明三角形中的恒等式思考　前面我们用正弦定理化简过acosB＝bcosA，当时是把边化成了角；现在我们学了余弦定理，你能不能用余弦定理把角化成边？　　梳理　证明三角恒等式的关键是借助正、余弦定理进行边角互化减小等式两边的差异．类型一　用余弦定理解决实际问题例1　一商船行至某海域时，遭到海盗的追击，随即发出求救信号．正在该海域执行护航任务的

4、海军舰艇在A处获悉后，即测出该商船在北偏东45°，距离10海里的C处，并沿方位角为105°的方向，以9海里/时的速度航行，舰艇立即以21海里/时的速度前去营救．求舰艇靠近商船所需要的最短时间及所经过的路程．　反思与感悟　解决实际测量问题的过程一般要充分理解题意，正确做出图形，把实际问题里的条件和所求转换成三角形中的已知和未知的边、角，通过建立数学模型来求解．跟踪训练1　某巡逻艇在A处发现北偏东45°相距9海里的C处有一艘走私船，正沿南偏东75°的方向以10海里/小时的速度向我海岸行驶，巡逻艇立即以14海里/小时的速度沿着直线方向追去，问巡逻艇应该沿

5、什么方向去追？需要多少时间才追赶上该走私船？　　　　　　类型二　利用正弦、余弦定理证明三角形中的恒等式例2　在△ABC中，有(1)a＝bcosC＋ccosB；(2)b＝ccosA＋acosC；(3)c＝acosB＋bcosA，这三个关系式也称为射影定理，请给出证明．　　　　　　反思与感悟　证明三角形中边角混合关系恒等式，可以考虑两种途径：一是把角的关系通过正弦、余弦定理转化为边的关系，正弦借助正弦定理转化，余弦借助余弦定理转化；二是通过正弦定理把边的关系转化为角的关系．跟踪训练2　在△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，求证：＝.　　　　

6、　　类型三　利用正弦、余弦定理判断三角形形状引申探究若将本例中的条件(a＋b＋c)(b＋c－a)＝3bc改为(b2＋c2－a2)2＝b3c＋c3b－a2bc，其余条件不变，试判断△ABC的形状．例3　在△ABC中，已知(a＋b＋c)(b＋c－a)＝3bc，且sinA＝2sinBcosC，试判断△ABC的形状．　　　　　　反思与感悟　(1)判断三角形的形状，往往利用正弦定理、余弦定理将边、角关系相互转化，经过化简变形，充分暴露边、角关系，进而作出判断．(2)在余弦定理中，注意整体思想的运用，如：b2＋c2－a2＝2bccosA，b2＋c2＝(b＋c)

7、2－2bc等等．跟踪训练3　在△ABC中，若B＝60°，2b＝a＋c，试判断△ABC的形状．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　1．在△ABC中，若b2＝a2＋c2＋ac，则B＝________.2．在△ABC中，若2cosBsinA＝sinC，则△ABC的形状一定是________三角形．3.如图，两座相距60m的建筑物AB、CD的高度分别为20m、50m，BD为水平面，则从建筑物AB的顶端A看建筑物CD的张角为________．4．在△ABC中，A＝120°，AB＝5，BC＝7，则的值为________．1．根据所给条件确定三角形的形状，

8、主要有两种途径：(1)化边为角；(2)化角为边，并常用正弦(余弦)定理实现边、角转换．2．在余弦定理中，每一个等式均含有四