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《高中数学《简单的三角恒等变换》学案2 新人教a版必修4》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、三角恒等变换【学法导航】1.三角函数的化简与求值、证明的难点在于众多三角公式的灵活运用和解题突破口的合理选择，要认真分析所给式子的整体结构，分析各个三角函数及角的相互关系是灵活选用公式的基础，是恰当寻找解题思维起点的关键所在（1）化简，要求使三角函数式成为最简：项数尽量少，名称尽量少，次数尽量底，分母尽量不含三角函数，根号内尽量不含三角函数，能求值的求出值来；（2）求值，要注意象限角的范围、三角函数值的符号之间联系与影响，较难的问题需要根据上三角函数值进一步缩小角的范围（3）证明是利用恒等变换公式将
2、等式的左边变同于右边，或右边变同于，或都将左右进行变换使其左右相等2.对于三角变换公式务必要知道其推导思路，从而清晰地“看出”它们之间的联系，它们的变化形式.如，等.从而可做到:正用、逆用、变形用自如使用各公式；三角变换公式除用来化简三角函数式外，还为研究三角函数图象及性质做准备。3.三角函数恒等变形的基本策。①常值代换：特别是用“1”的代换，如1=cos2θ+sin2θ=tanx·cotx=tan45°等。②项的分拆与角的配凑。如分拆项：;配凑角(常用角变换):、、、、等.③降次与升次。即倍角公式
3、降次与半角公式升次④化弦（切）法。将三角函数利用同角三角函数基本关系化成弦（切）。⑤引入辅助角。asinθ+bcosθ=sin(θ+)，这里辅助角所在象限由a、b的符号确定，角的值由tan=确定。4.三角恒等变换过程与方法，实际上是对三角函数式中的角、名、形的变换，即（1）找差异：角、名、形的差别；（2）建立联系：角的和差关系、倍半关系等，名、形之间可以用哪个公式联系起来；（3）变公式：在实际变换过程中，往往需要将公式加以变形后运用或逆用公式，如升、降幂公式，cosα=cosβcos（α-β）-si
4、nβsin（α-β），1=sin2α+cos2α，==tan（450+300）等。【专题综合】例1.（05天津）已知，求及．解：解法一：由题设条件，应用两角差的正弦公式得，即①由题设条件，应用二倍角余弦公式得故②由①和②式得，因此，，由两角和的正切公式解法二：由题设条件，应用二倍角余弦公式得，解得 ，即由可得由于，且，故a在第二象限于是，从而以下同解法一小结：1、本题以三角函数的求值问题考查三角变换能力和运算能力，可从已知角和所求角的内在联系（均含）进行转换得到．2、在求三角函数值时，必须灵活应用
5、公式，注意隐含条件的使用，以防出现多解或漏解的情形．例2.已知为锐角的三个内角，两向量，，若与是共线向量.（1）求的大小；（2）求函数取最大值时，的大小.解：（1），（2）．小结：三角函数与向量之间的联系很紧密，解题时要时刻注意例3.设关于x的方程sinx＋cosx＋a＝0在(0,2π)内有相异二解α、β.(1)求α的取值范围;(2)求tan(α＋β)的值.解:(1)∵sinx＋cosx＝2(sinx＋cosx)＝2sin(x＋),∴方程化为sin(x＋)＝－.∵方程sinx＋cosx＋a＝0在(0
6、,2π)内有相异二解,∴sin(x＋)≠sin＝.又sin(x＋)≠±1(∵当等于和±1时仅有一解),∴
7、－
8、<1.且－≠.即
9、a
10、<2且a≠－.∴a的取值范围是(－2,－)∪(－,2).(2)∵α、β是方程的相异解,∴sinα＋cosα＋a＝0①.sinβ＋cosβ＋a＝0②.①－②得(sinα－sinβ)＋(cosα－cosβ)＝0.∴2sincos－2sinsin＝0,又sin≠0,∴tan＝.∴tan(α＋β)＝＝.小结：要注意三角函数实根个数与普通方程的区别，这里不能忘记(0,2π)这一条
11、件.例4.中，已知内角，边.设内角,面积为.(1)若，求边的长；(2)求的最大值.解：（1）由正弦定理得：（2）的内角和，=，当即时，取得最大值.小结：本题将三角函数、三角恒等变换与解三角形（正、余弦定理等）综合，考查学生灵活运用知识的能力例5.已知函数在区间上单调递减，试求实数的取值范围．解：已知条件实际上给出了一个在区间上恒成立的不等式．任取，且，则不等式恒成立，即恒成立．化简得由可知：，所以上式恒成立的条件为：.由于且当时，，所以,从而,有,故的取值范围为.【专题突破】一、选择题1．若，则的值
12、为（ ）Ａ．Ｂ．Ｃ．Ｄ．2.=（）A.B.C.2D.3.函数是（）A．周期为的奇函数B．周期为的偶函数C．周期为的奇函数D．周期为的偶函数4．求值（）A．B．C．D．5．已知，，则（）A．B．C．D．6．函数的最小正周期是（）A.B.C.D.7．在△ABC中，，则△ABC为（）A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．无法判定8．设，，，则大小关系（）A．B．C．D．9．函数是（）A.周期为的奇函数B.周期为的偶函数C.周期为的奇函数D.周期为的偶函数10．已知
