高中数学第3章三角恒等变换3.1.2两角和与差的正弦学案苏教版必修4

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1、3.1.2　两角和与差的正弦1．能利用两角和与差的余弦公式及诱导公式导出两角差的正弦公式、两角和的正弦公式．(难点)2．能利用公式解决简单的化简求值问题．(重点)[基础·初探]教材整理　两角和与差的正弦公式阅读教材P107～P109，完成下列问题．1．两角和的正弦公式：sin(α＋β)＝sin_αcos_β＋cos_αsin_β.2．两角差的正弦公式：sin(α－β)＝sin_αcos_β－cos_αsin_β.判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)sin150°＝sin120°＋sin30°.(　　)(2)sin60°cos30°＋cos60°sin30°＝.(　　)(3)α，β∈R时

2、，sin(α－β)＝sinαcosβ＋cosαsinβ.(　　)(4)sin54°cos24°－sin36°sin24°＝sin30°.(　　)【解析】　(1)公式错误．(2)原式＝sin(60°＋30°)＝sin90°＝1.(3)sin(α－β)＝sinαcosβ－cosαsinβ.(4)原式＝sin54°cos24°－cos54°sin24°＝sin(54°－24°)＝sin30°.【答案】　(1)×　(2)×　(3)×　(4)√[质疑·手记]预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1：　解惑：　疑问2：　解惑：　疑问3：　解惑：　[小组合作型]运用公式求值　求下列各式

3、的值：(1)sin163°sin223°＋sin253°sin313°；(2).【导学号：06460072】【精彩点拨】　(1)从角和“形”入手，转化成两角和(差)的正弦求值．(2)注意角的差异与变换：55°＝(60°－5°)，85°＝90°－5°.【自主解答】　(1)原式＝sin163°sin223°＋sin(90°＋163°)sin(90°＋223°)＝sin163°sin223°＋cos163°cos223°＝cos(223°－163°)＝cos60°＝.(2)原式＝＝＝＝1.1．对于非特殊角的三角函数式，要想利用两角和与差的正弦、余弦公式求出具体数值，一般有以下三种途径(1)化为特殊角

4、的三角函数值；(2)化为正负相消的项，消去求值；(3)化为分子、分母形式，进行约分再求值．2．在进行求值过程的变换中，一定要本着先整体后局部的基本原则，先整体分析三角函数式的特点，如果整体符合三角公式，则整体变形，否则进行各局部的变换．[再练一题]1．求下列各式的值：(1)sin165°；(2)sin14°cos16°＋sin76°cos74°；(3)sin(θ＋75°)＋cos(θ＋45°)－cos(θ＋15°)．【解】　(1)法一　sin165°＝sin(90°＋75°)＝cos75°＝cos(45°＋30°)＝cos45°cos30°－sin45°sin30°＝.法二　sin165°＝s

5、in(180°－15°)＝sin15°＝sin(45°－30°)＝sin45°cos30°－cos45°sin30°＝.(2)法一　sin14°cos16°＋sin76°cos74°＝sin14°cos16°＋cos14°sin16°＝sin(14°＋16°)＝sin30°＝.法二　sin14°cos16°＋sin76°cos74°＝cos76°cos16°＋sin76°sin16°＝cos(76°－16°)＝cos60°＝.(3)sin(θ＋75°)＋cos(θ＋45°)－cos(θ＋15°)＝sin(θ＋15°＋60°)＋cos(θ＋15°＋30°)－cos(θ＋15°)＝sin(θ＋15

6、°)cos60°＋cos(θ＋15°)sin60°＋cos(θ＋15°)cos30°－sin(θ＋15°)sin30°－cos(θ＋15°)＝sin(θ＋15°)＋cos(θ＋15°)＋cos(θ＋15°)－sin(θ＋15°)－cos(θ＋15°)＝0.给值求值　已知0＜β＜，＜α＜，cos＝，sin＝，求cos(α＋β)的值．【精彩点拨】　注意－＝＋(α＋β)，可通过求出＋β和－α的正，余弦值来求cos(α＋β)．【自主解答】　由0＜β＜，＜α＜π得－＜－α＜0，π＜π＋β＜π.∴cos＝－，sin＝－，cos(α＋β)＝sin＝sin＝sincos－cossin＝×－×＝－.解此类问题的

7、关键是把“所求角”用“已知角”表示出来.(1)当“已知角”有两个时“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差的形式.(2)当“已知角”有一个时，此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系，然后应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”.(3)角的拆分方法不唯一，可根据题目合理选择拆分方式.[再练一题]2．已知α，β是锐角，且sinα＝，cos(α＋β)＝－，求sinβ的值．【解】　∵α是锐角，且