高中数学第三章三角恒等变换3.1两角和与差的三角函数3.1.2两角和与差的正弦导学案苏教版必修4

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1、3.1.2两角和与差的正弦课堂导学三点剖析1.两角和与差的正弦公式应用初步【例1】求值.（1）sin;(2)sinπcosπ-sinsinπ.解：（1）sin=sin(-)=sincos-cossin=×-×=.(2)原式=sinπcosπ-cos(-)sinπ=sinπcosπ-cosπsinπ=sin(π-π)=sin=.温馨提示解决给角求值这类问题，一般是将所求角表示成两个特殊角的和或差，就可以利用两角和或差的正余弦公式求值.在运用两角和或差的正余弦公式前注意结合诱导公式先化简.2.两角和与差的正弦公式的综合应用【例2】已知＜β＜α＜，

2、cos（α-β）=，sin（α+β）=，求sin2α的值.思路分析：如果发现2α=（α-β）+（α+β）的关系，便可迅速获得该题的解答；否则，若采用将cos（α-β）和sin（α+β）展开的做法，解答过程不仅要用不少三角函数公式，而且大大增加了运算量.解：由＜β＜α＜，得α-β∈（0，），α+β∈（π，）.∴sin（α-β）=.cos（α+β）==.故sin2α=sin[（α-β）+（α+β）]=sin（α-β）cos（α+β）+cos（α-β）sin（α+β）=×（）+×（）=-.温馨提示（1）已知某些角的三角函数值，求另外一些角的三角函数

3、值，解这类问题应认真分析已知式中角与未知式中角的关系，再决定如何利用已知条件，避免盲目地处理相关角的三角函数式，以免造成解题时不必要的麻烦.（2）要注意观察和分析问题中角与角之间的内在联系，尽量整体的运用条件中给出的有关角的三角函数值.（3）许多问题都给出了角的范围，解题时一定要重视角的范围对三角函数值的制约关系，从而恰当、准确地求出三角函数值.3.变形或逆用两角和与差的正弦公式【例3】化简下列各三角函数式.（1）sinα-cosα;(2)sin(x+60°)+2sin(x-60°)-3cos(120°-x).思路分析：采取配系数的方法，构造

4、和、差角的正弦公式，再利用和、差角的正弦公式化简.解析：（1）sinα-cosα=2(sinα-cosα)=2(sinαcos-cosαsin)=2sin(α-).(2)解法1：原式=sinxcos60°+cosxsin60°+2sinxcos60°-2cosxsin60°-cos120°cosx-·sin120°sinx=（cos60°+2cos60°-sin120°）sinx+(sin60°-2sin60°-cos120°)cosx=(+2×-×)sinx+(-2×+×)cosx=0;解法2：原式=sin(x+60°)+cos(x+60°

5、)+2sin(x-60°)=2［sin(x+60°)+cos(x+60°)］+2sin(x-60°)=2［cos60°·sin(x+60°)+sin60°·cos(x+60°)］+2sin(x-60°)=2sin［60°+(x+60°)］+2sin(x-60°)=2sin(x+120°)+2sin(x-60°)=-2sin(x-60°)+2sin(x-60°)=0.温馨提示（2）中解法1是顺用两角和差的正弦、余弦公式计算.解法2的关键在于构造能逆用两角和差的正弦公式的式子.观察到（x+）和（-x）互补是顺利解决问题的前提条件，这种技巧在三角函

6、数解题中经常用到.而这往往又是容易忽略的地方.各个击破类题演练1求下列各式的值.（1）sin75°；（2）sin15°；（3）sin13°cos17°+cos13°sin17°.解：（1）sin75°=sin（45°+30°）=sin45°cos30°+cos45°sin30°=·-·=；（2）sin15°=sin（45°-30°）=sin45°cos30°-cos45°sin30°=·-·=；（3）原式=sin（13°+17°）=sin30°=.变式提升1已知cosφ=，φ∈（0，），求sin（φ-）.思路分析：先求出sinφ的值，再代入公

7、式运算.解：∵cosφ=，φ∈（0，），∴sinφ=.∴sin（φ-）=sinφcos-cosφsin=××=.类题演练2已知cosα=，sin（α-β）=，且α、β∈（0，），求sinβ的值.解：∵cosα=，α∈（0，），∴sinα=.又∵α，β∈（0，），∴α-β∈（-，）∵sin（α-β）=，∴cos（α-β）=.∴sinβ=sin[α-（α-β）]=sinαcos（α-β）-cosαsin（α-β）=××（）=.变式提升2已知cos（α+β）=，cos2α=-，α、β均为钝角，求sin（α-β）.思路分析：将已知条件整体使用，并且发

8、现α-β=2α-（α+β），因此要求sin（α-β）的值，关键是求出sin（α+β）及sin2α.解：∵α、β∈（90°，180°），∴α+β，2α∈（180°，3