高中数学第3章概率3.4互斥事件及其发生的概率知识导引学案苏教版必修3

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1、3.4　互斥事件及其发生的概率案例探究有3个1g砝码，3个3g砝码和2个5g砝码，任意取出2个砝码，想一想，如何求下面三个事件的概率？（1）两个砝码重量相同的概率；（2）两个砝码总重为6g的概率；（3）两个砝码总重量不超过8g的概率.解析：（1）记“两个砝码重量相同”的事件为A．“两个砝码重量都是1g”的事件为A1.“两个砝码重量都是3g”为事件A2，“两个砝码重量都是5g”为事件A3，A1、A2、A3是互斥的.显然A=A1+A2+A3，由前面知识得P（A1）=，P（A2）=，P（A3）=.（为什么）由互斥事件的加法公式，有P（A）=P（A1）+P（A2）+P（A3）=++=.

2、（2）记“两个砝码总重量为6g”为事件B．“两个砝码中一个砝码为1g，另一个砝码为5g”为事件B1，“两个砝码重量都为3g”为事件B2，B1，B2互斥.显然B=B1+B2.P（B1）==，P（B2）=.（为什么）∴P（B）=P（B1）+P（B2）=+=.（3）正面去求比较复杂，故可考虑其对立事件.设“两个砝码总重量大于8g”的事件为C．“两个砝码总重量不超过8g”的事件为D，则C与D为对立事件.两个砝码总重量超过8g，其中只包括两个砝码都是5g的情况，于是P（C）=.∴P（D）=1-P（C）=1-=.自学导引1．不能同时发生的两个事件称为互斥事件（exclusiveevents

3、）.2．如果事件A，B互斥，那么事件A+B发生的概率，等于事件A，B分别发生的概率的和，即P（A+B）=P（A）+P（B）.一般地，如果事件A1，A2，…，An两两互斥，则P（A1+A2+…+An）=P（A1）+P（A2）+…+P（An）.3．两个互斥事件必有一个发生，则称这两个事件为对立事件（complementaryevents）.事件A的对立事件记为A．4．对立事件A与A必有一个发生，故A+A是必然事件，从而P（A）+P（）=P（A+）=1.由此，我们可以得到一个重要公式：P（）=1-P（A）.5．体育考试的成绩分为四个等级：优、良、中、不及格，某班50名学生参加了体育考

4、试，结果如下：优85分及以上9人良75～84分15人中60～74分21人不及格60分以下5人（1）体育考试的成绩的等级为优、良、中、不及格的事件分别记为A，B，C，D．则A，B，C，D之间的关系为彼此互斥.（2）若将“体育成绩及格”记为事件E，则E与D为对立事件.6．互斥事件和对立事件是针对两个事件而言的，它们有区别又有联系.在一次试验中，两个互斥的事件有可能都不发生，也可能有一个发生；而两个对立的事件则必有一个发生，但不可能同时发生.所以，两个事件互斥，它们未必对立；反之，两个事件对立，它们一定互斥.疑难剖析【例1】判断下列每对事件是否为互斥事件、对立事件，并说明道理.从扑克

5、牌40张（红桃、黑桃、方块、梅花点数从1～10各10张）中，任取一张.（1）“抽出红桃”与“抽出黑桃”；（2）“抽出红色牌”与“抽出黑色牌”；（3）“抽出的牌点数为5的倍数”与“抽出的牌点数大于9”.思路分析：判别两个事件是否互斥，就要考察它们是否不能同时发生；判别两个互斥事件是否对立，再要考察它们是否必有一个发生.解：（1）是互斥事件，不是对立事件.道理是：从40张扑克牌中任意抽取1张，“抽出红桃”和“抽出黑桃”是不可能同时发生的，所以是互斥事件.同时，不能保证其中必有一个发生.这是由于还可能抽出“方块”或者“梅花”.因此，二者不是对立事件.（2）既是互斥事件，又是对立事件.

6、道理是：从40张扑克牌中，任意抽取1张，“抽出红色牌”与“抽出黑色牌”，两个事件不可能同时发生，并且其中必有一个发生，所以它们既是互斥事件，又是对立事件.（3）不是互斥事件，当然不可能是对立事件.道理是：从40张扑克牌中任意抽取1张，“抽出的牌点数为5的倍数”与“抽出的牌点数大于9”这两个事件可能同时发生，如抽得10．因此，二者不是互斥事件，当然不可能是对立事件.思维启示：“互斥事件”是“对立事件”是就两个事件而言的，互斥事件是不可同时发生的两个事件，而对立事件是其中必有一个发生的互斥事件.因此，对立事件必须是互斥事件，但互斥事件不一定是对立事件.也就是说，“互斥事件”是“对立

7、事件”的必要但不充分的条件.“对立事件”是“互斥事件”的充分不必要条件.变式训练：某小组有3名男生和2名女生，从中任选2名同学参加演讲比赛.判断下列每对事件是不是互斥事件，如果是，再判别它们是不是对立事件.（1）恰有1名男生与2名都是男生；（2）至少有1名男生与全是男生；（3）至少有1名男生与全是女生；（4）至少有1名男生与至少有1名女生.解：（1）因为“恰有1名男生”与“2名都是男生”不可能同时发生，所以它们是互斥事件；当选出的是2名女生时它们都不发生，所以它们不是对立事件.（2）因为选出