高中数学第一章不等关系与基本不等式2.1绝对值不等式学案北师大版选修4

高中数学第一章不等关系与基本不等式2.1绝对值不等式学案北师大版选修4

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1、2.1 绝对值不等式1.理解含有绝对值的不等式的性质.2.掌握绝对值不等式的定理及绝对值的几何意义.3.能利用绝对值不等式证明不等式及求最值等简单问题,并认识不等式证法的多样性、灵活性.1.实数的绝对值的概念(1)定义:

2、a

3、=(2)

4、a

5、的几何意义:

6、a

7、表示数轴上实数a对应的点与原点之间的______.(3)两个重要性质:(Ⅰ)①

8、ab

9、=______;②=______;(Ⅱ)

10、a

11、<

12、b

13、⇔a2____b2.(4)

14、x-a

15、的几何意义:数轴上实数x对应的点与实数a对应的点之间的______,或数轴上表示x-a的点到______的距离.(5)

16、x+a

17、的几何

18、意义:数轴上实数x对应的点与实数-a对应的点之间的____,或数轴上表示x+a的点到原点的____.【做一做1】解不等式

19、x+1

20、>

21、2x-3

22、-2.2.绝对值不等式的定理(1)定理:对任意实数a和b,有

23、a+b

24、≤______,当且仅当ab≥0时,等号成立.(2)定理的另一种形式:对任意实数a和b,有

25、a-b

26、≤

27、a

28、+

29、b

30、,当且仅当______时,等号成立.(1)绝对值不等式的完整形式:①

31、a

32、-

33、b

34、≤

35、a±b

36、≤

37、a

38、+

39、b

40、;②

41、

42、a

43、-

44、b

45、

46、≤

47、a±b

48、≤

49、a

50、+

51、b

52、.(2)绝对值不等式的一般形式:

53、a1+a2+…+an

54、≤

55、a1

56、+

57、a2

58、+

59、…+

60、an

61、(n∈N+).【做一做2】已知

62、x-a

63、<,

64、y-b

65、<,求证:

66、(x+y)-(a+b)

67、<c.3.

68、a+b

69、≤

70、a

71、+

72、b

73、的几何意义(1)如图所示,当a,b同号时,它们位于原点的同一边,此时a与-b的距离____它们到原点的距离____.(2)如图所示,当a,b异号时,它们分别位于原点的两边,a与-b的距离____a与b到原点的距离____.【做一做3】若不等式

74、x-4

75、-

76、x-3

77、≤a对一切x∈R恒成立,则实数a的取值范围是__________.答案:1.(1)a 0 -a (2)距离 (3)(Ⅰ)①

78、a

79、

80、b

81、 ② (Ⅱ)< (4)距离 原点

82、 (5)距离 距离【做一做1】分析:解含有绝对值的不等式,利用

83、a

84、=将不等式中的绝对值符号去掉,转化成与之同解的不含绝对值的不等式(组),再去求解.解:令x+1=0,得x=-1.令2x-3=0,得x=,如图.(1)当x≤-1时,原不等式可化为-(x+1)>-(2x-3)-2,解得x>2,与条件矛盾,无解.(2)当-1<x≤时,原不等式可化为x+1>-(2x-3)-2,解得x>0,故0<x≤.(3)当x>时,原不等式可化为x+1>2x-3-2,解得x<6,故<x<6.综上,原不等式的解集为{x

85、0<x<6}.2.(1)

86、a

87、+

88、b

89、 (2)ab≤0【做一做2】分

90、析:利用不等式的性质证明即可.证明:

91、(x+y)-(a+b)

92、=

93、(x-a)+(y-b)

94、≤

95、x-a

96、+

97、y-b

98、.①∵

99、x-a

100、<,

101、y-b

102、<,∴

103、x-a

104、+

105、y-b

106、<+=c.②由①②,得

107、(x+y)-(a+b)

108、<c.3.(1)等于 之和 (2)小于 之和【做一做3】[1,+∞) 设f(x)=

109、x-4

110、-

111、x-3

112、,则f(x)≤a对一切x∈R恒成立,只需a≥f(x)max.因为

113、x-4

114、-

115、x-3

116、≤

117、(x-4)-(x-3)

118、=1,当且仅当x≤3时等号成立,即f(x)max=1,所以a≥1.1.对绝对值不等式的理解剖析:绝对值不等式实质是两个实数的和差的

119、绝对值与绝对值的和差的关系,我们可以类比得到另外一种形式:

120、a

121、-

122、b

123、≤

124、a-b

125、≤

126、a

127、+

128、b

129、.和差的绝对值与绝对值的和差的关系是由ab>0,ab<0,ab=0三种情况来确定的,其本质是叙述两个实数的符号在各种情形下得到的结果,即这个定理本身就是一个分类讨论问题.“数”分正、负、零等不同情况讨论,往往在所难免,因此,对绝对值的认识要有分类讨论的习惯.2.绝对值不等式的几何意义剖析:用向量a,b替换实数a,b时,问题就从一维扩展到二维,当向量a,b不共线时,a+b,a,b构成三角形,有

130、a+b

131、<

132、a

133、+

134、b

135、.当向量a,b共线时,a,b同向(相当于ab≥0

136、)时,

137、a+b

138、=

139、a

140、+

141、b

142、;a,b异向(相当于ab<0)时,

143、a+b

144、<

145、a

146、+

147、b

148、,这些都是利用了三角形的性质定理,如两边之和大于第三边等,这样处理,可以形象地描绘绝对值三角不等式,更易于记忆,并有利于定理的应用.题型一 利用绝对值不等式证明不等式【例1】设m等于

149、a

150、,

151、b

152、和1中最大的一个,当

153、x

154、>m时,求证:<2.分析:本题的关键是对题设条件的理解和运用.判断

155、a

156、,

157、b

158、和1这三个数中哪个最大.如果两两比较大小,将十分复杂,但我们可以得到一个重要的信息:m≥

159、a

160、、m≥

161、b

162、、m≥1.从而利用这一条件证题.反思:分析题目时,题目中的语言文字是

163、我们解题信息的重要来源与

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