2018-2019学年高中数学 第一章 不等关系与基本不等式 2.1 绝对值不等式学案 北师大版选修4-5

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1、2.1　绝对值不等式学习目标　1.进一步理解绝对值的意义.2.理解并掌握绝对值不等式

2、a＋b

3、≤

4、a

5、＋

6、b

7、的代数及几何解释.3.会用

8、a＋b

9、≤

10、a

11、＋

12、b

13、解决一些简单的绝对值不等式问题．知识点　绝对值不等式定理思考1　实数a的绝对值

14、a

15、的几何意义是什么？答案　

16、a

17、表示数轴上以a为坐标的点A到原点的距离．思考2　代数式

18、x＋2

19、＋

20、x－3

21、的几何意义是什么？答案　表示数轴上的点x到点－2,3的距离之和．思考3　画画图，看看

22、x＋2

23、＋

24、x－3

25、与

26、(－2)－3

27、的关系．答案　由数轴可以看出数轴上的点x到点－2,3的距离之和大于等于点－2到3的距离，即

28、x＋2

29、＋

30、x－3

31、≥

32、(－2)

33、－3

34、.梳理　(1)实数的绝对值

35、a

36、＝由定义易得

37、ab

38、＝

39、a

40、·

41、b

42、；＝(b≠0)；

43、a

44、2＝a2；＝

45、a

46、；－

47、a

48、≤a≤

49、a

50、.(2)绝对值的几何意义设a是任意一个实数，在数轴上：①

51、a

52、表示实数a对应的点与原点O的距离；②

53、x－a

54、表示实数x对应的点与实数a对应的点之间的距离；③

55、x＋a

56、表示实数x对应的点与实数－a对应的点之间的距离．(3)绝对值不等式(定理)对任意实数a和b，有

57、a＋b

58、≤

59、a

60、＋

61、b

62、.拓展　

63、

64、a

65、－

66、b

67、

68、≤

69、a±b

70、≤

71、a

72、＋

73、b

74、.类型一　含绝对值不等式的证明例1　设函数f(x)＝x2－2x，

75、x－a

76、＜1.求证：

77、f(x)－f(a)

78、＜2

79、a

80、＋3.

81、证明　∵f(x)＝x2－2x，且

82、x－a

83、＜1，∴

84、f(x)－f(a)

85、＝

86、x2－2x－a2＋2a

87、＝

88、(x＋a)(x－a)－2(x－a)

89、＝

90、(x－a)(x＋a－2)

91、＝

92、x－a

93、·

94、x＋a－2

95、＜

96、x＋a－2

97、＝

98、(x－a)＋(2a－2)

99、≤

100、x－a

101、＋

102、2a－2

103、＜1＋

104、2a

105、＋

106、2

107、＝2

108、a

109、＋3，∴

110、f(x)－f(a)

111、＜2

112、a

113、＋3.反思与感悟　两类含绝对值不等式的证明技巧一类是比较简单的不等式，往往可通过平方法、换元法去掉绝对值转化为常见的不等式证明，或利用

114、

115、a

116、－

117、b

118、

119、≤

120、a±b

121、≤

122、a

123、＋

124、b

125、，通过适当的添、拆项证明．另一类是综合性较强的函数型含绝对值的不等式，往往可考

126、虑利用一般情况成立，则特殊情况也成立的思想，或利用一元二次方程的根的分布等方法来证明．跟踪训练1　已知

127、A－a

128、＜，

129、B－b

130、＜，

131、C－c

132、＜，求证：

133、(A＋B＋C)－(a＋b＋c)

134、＜s.证明　∵

135、(A＋B＋C)－(a＋b＋c)

136、＝

137、(A－a)＋(B－b)＋(C－c)

138、≤

139、(A－a)＋(B－b)

140、＋

141、C－c

142、≤

143、A－a

144、＋

145、B－b

146、＋

147、C－c

148、，又∵

149、A－a

150、＜，

151、B－b

152、＜，

153、C－c

154、＜，∴

155、A－a

156、＋

157、B－b

158、＋

159、C－c

160、＜＋＋＝s，∴

161、(A＋B＋C)－(a＋b＋c)

162、＜s.类型二　利用绝对值不等式求最值例2　(1)求函数y＝

163、x－3

164、－

165、x＋1

166、的最大值和最小值；(2)如果关于x的不等

167、式

168、x－3

169、＋

170、x－4

171、＜a的解集为空集，求参数a的取值范围．解　(1)∵

172、

173、x－3

174、－

175、x＋1

176、

177、≤

178、(x－3)－(x＋1)

179、＝4，∴－4≤

180、x－3

181、－

182、x＋1

183、≤4，∴ymax＝4，ymin＝－4.(2)只要a不大于

184、x－3

185、＋

186、x－4

187、的最小值，则

188、x－3

189、＋

190、x－4

191、＜a的解集为空集，而

192、x－3

193、＋

194、x－4

195、＝

196、x－3

197、＋

198、4－x

199、≥

200、x－3＋4－x

201、＝1，当且仅当(x－3)(4－x)≥0，即3≤x≤4时等号成立．∴当3≤x≤4时，

202、x－3

203、＋

204、x－4

205、取得最小值1.∴a的取值范围为(－∞，1]．反思与感悟　(1)利用绝对值不等式求函数最值时，要注意利用绝对值的性质进行转化，构造绝对值

206、不等式的形式．(2)求最值时要注意等号成立的条件，它也是解题的关键．跟踪训练2　(1)已知x∈R，求f(x)＝

207、x＋1

208、－

209、x－2

210、的最值；(2)若

211、x－3

212、＋

213、x＋1

214、＞a的解集不是R，求a的取值范围．解　(1)∵

215、f(x)

216、＝

217、

218、x＋1

219、－

220、x－2

221、

222、≤

223、(x＋1)－(x－2)

224、＝3，∴－3≤f(x)≤3，∴f(x)min＝－3，f(x)max＝3.(2)∵

225、x－3

226、＋

227、x＋1

228、≥

229、(x－3)－(x＋1)

230、＝4，∴

231、x－3

232、＋

233、x＋1

234、≥4.∴当a＜4时，

235、x－3

236、＋

237、x＋1

238、＞a的解集为R.又∵

239、x－3

240、＋

241、x＋1

242、＞a的解集不是R，∴a≥4.∴a的取值范围是[4，＋∞)．类型三　绝对值

243、不等式的综合应用例3　设函数f(x)＝＋

244、x－a

245、(a＞0)．(1)证明：f(x)≥2；(2)若f(3)＜5，求a的取值范围．(1)证明　由a＞0，可得f(x)＝＋

246、x－a

247、≥＝＋a≥2，所以f(x)≥2.(2)解　f(3)＝

248、3＋

249、＋

250、3－a

251、，当a＞3时，f(3)＝a＋，由f(3)＜5，得3＜a＜；当0＜a≤3时，f(3)＝6－a＋，由f(3)＜5，得＜a≤3.综上可知，a的取值范围是.反思与