高中数学第一章计数原理1.3二项式定理1.3.1二项式定理学案新人教a版选修2

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1、1.3.1　二项式定理学习目标重点、难点1.能用计数原理证明二项式定理．2．能记住二项式定理和二项展开式的通项公式．3．能解决与二项式定理有关的简单问题.重点：掌握二项式定理和二项展开式的通项公式，能求特定项和系数．难点：解决与二项式定理有关的简单问题.1．二项式定理(a＋b)n＝Can＋Can－1b＋…＋Can－kbk＋…＋Cbn(n∈N*)(1)这个公式叫做二项式定理．(2)展开式：等号右边的多项式叫做(a＋b)n的二项式的展开式，展开式中一共有____项．(3)二项式系数：各项的系数__(k∈{0,1,2，…，n})叫做二项式系数．2．二项展开式的通项(a＋b)n展开式

2、中第k＋1项____________(k∈{0,1,2，…，n})称为二项展开式的通项．预习交流(1)二项展开式的特点有哪些？(2)(x＋1)n的展开式共有11项，则n等于(　　)．A．9B．10C．11D．12(3)7的展开式中第3项的二项式系数为__________，第6项的系数为__________，x的次数为5的项为__________．答案：1．(2)n＋1　(3)C2．Tk＋1＝Can－kbk预习交流：(1)提示：①项数：n＋1项；②指数：字母a，b的指数和为n，字母a的指数由n递减到0，同时b的指数由0递增到n；③通项公式Tr＋1＝Can－rbr指的是第r＋1项

3、，不是第r项；④某项的二项式系数与该项的系数不是一个概念，C叫做二项式系数，而某一项的系数是指此项中除字母外的部分，如(1＋2x)3的二项展开式中第3项的二项式系数为C＝3，而该项的系数为C·22＝12.(2)提示：B(3)提示：21　－84　－448x5在预习中，还有哪些问题需要你在听课时加以关注？请在下列表格中做个备忘吧！我的学困点我的学疑点一、二项式定理的直接应用求4的展开式．思路分析：直接利用二项式定理处理是基本的方法．但考虑到处理起来比较复杂，因此可以考虑将原式变形后再展开．化简：(x－1)5＋5(x－1)4＋10(x－1)3＋10(x－1)2＋5(x－1)．　　熟

4、记二项式(a＋b)n的展开式，是解决此类问题的关键，我们在解较复杂的二项式问题时，可根据二项式的结构特征进行适当变形，简化展开二项式的过程，使问题的解决更加简便．二、二项展开式中特定项(项的系数)的计算1．(2011山东高考，理14)若6展开式的常数项为60，则常数a的值为__________．思路分析：利用二项式定理的通项公式求出不含x的项即可．2．(2011天津高考，理5)在6的二项展开式中，x2的系数为(　　)．A．－B．C．－D．思路分析：利用二项展开式的通项公式求．1．(2011陕西高考，理4)(4x－2－x)6(x∈R)展开式中的常数项是(　　)．A．－20B．－

5、15C．15D．202．(2011广东高考，理10)x7的展开式中，x4的系数是________．(用数字作答)　　求二项展开式的特定项问题，实质是考查通项Tk＋1＝Can－kbk的特点，一般需要建立方程求k，再将k的值代回通项求解，注意k的取值范围(k＝0,1,2，…，n)．(1)第m项：此时k＋1＝m，直接代入通项；(2)常数项：即这项中不含“变元”，令通项中“变元”的幂指数为0建立方程；(3)有理项：令通项中“变元”的幂指数为整数建立方程．特定项的系数问题及相关参数值的求解等都可依据上述方法求解．三、二项式定理的应用(整除问题)试判断7777－1能否被19整除．思路分析

6、：由于76是19的倍数，可将7777转化为(76＋1)77用二项式定理展开．证明：32n＋2－8n－9是64的倍数．　　用二项式定理解决an＋b整除(或余数)问题时，一般需要将底数a写成除数m的整数倍加上或减去r(1≤r＜m)的形式，利用二项展开式求解．答案：活动与探究1：解法1：4＝C(3)40＋C(3)3·＋C(3)22＋C(3)3＋C(3)04＝81x2＋108x＋54＋＋.解法2：4＝＝(81x4＋108x3＋54x2＋12x＋1)＝81x2＋108x＋54＋＋.迁移与应用：解：原式＝C(x－1)5＋C(x－1)4＋C(x－1)3＋C(x－1)2＋C(x－1)＋C－1

7、＝[(x－1)＋1]5－1＝x5－1.活动与探究2：1.4　解析：由二项式定理可知Tr＋1＝Cx6－rr＝C(－)rx6－3r，令6－3r＝0，得r＝2，∴T3＝C(－)2＝60.∴15a＝60.∴a＝4.2．C　解析：设含x2的项是二项展开式中第r＋1项，则Tr＋1＝C6－r·r＝C6－r(－2)rx3－r.令3－r＝2，得r＝1.∴x2的系数为C5(－2)＝－.迁移与应用：1.C　解析：设第r＋1项为常数项，Tr＋1＝C22x(6－r)(－2－x)r＝(－1)r·C212x－2rx－rx，∴12x－