高中数学第三章三角恒等变换3.1两角和与差的正弦余弦和正切公式3.1.3二倍角的正弦余弦正切公式一课堂导学案新人教a版必修4

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1、3.1.3二倍角的正弦、余弦、正切公式（一）课堂导学三点剖析1.二倍角公式的应用【例1】（1）求coscos的值；（2）求cos20°·cos40°·cos80°；（3）求的值.解：（1）coscos=cossin=·2cossin=sin=.（2）原式===（3）=温馨提示对于这类给角求值的问题，应首先观察题目中各角之间的关系.（1）根据、两角互余，将cos换成sin，再配以系数2即可逆用二倍角公式求值；（2）由于各角之间具有倍数关系，40°=2×20°，80°=2×40°，故分子分母同乘以sin20°，便可逆用二倍角公式求值；（3）由结构特点看应先通分，分子正

2、好逆用两角差的正弦公式，分母逆用二倍角公式，约分后即可求值.2.公式的变形应用【例2】（1）化简：；（2）设α∈（，2π），化简：.思路分析：（1）1+sin8=sin24+2sin4cos4+cos24=（sin4+cos4）2，2（1+cos8）=4cos24.（2）连续运用公式：1+cos2α=2cos2α.解：（1）原式==2

3、sin4+cos4

4、+2

5、cos4

6、.因为4∈（π，），所以sin4＜0，cos4＜0.故原式=-2（sin4+cos4）-2cos4=-2sin4-4cos4=-2（sin4+2cos4）.（2）因为α∈（，2π），所以cosα＞

7、0，cos＜0.故，原式=.温馨提示（1）带有根号的化简问题，首先要去掉根号，想办法将根号内的式子化成完全平方式，即三角函数中常用的解题技巧：“变次”，其中用到了二倍角正弦和余弦的两个重要的变形：1±sinα=（sin±cos）2，1+cosα=2cos2.（2）脱掉根号时要注意符号问题，如，利用α所在的象限，判断cos的正负，然后去掉绝对值符号.3.正确理解二倍角公式中“二倍”的含义，灵活运用公式【例3】设sin（-x）=，0＜x＜，求的值.思路分析：本题主要结合倍角公式考查给值求值问题.要抓住已知条件中角和被求式中角的关系，（+x）与（-x）互余，2x与-x的

8、2倍角互余，即cos2x=sin（±2x）=sin［2（±x）］.解法1：∵0＜x＜，∴0＜-x＜.∴cos（-x）=又cos（+x）=sin（-x）=，∴原式===2cos（-x）=.解法2：∵cos2x=cos2x-sin2x=（cosx+sinx）（cosx-sinx）=sin（x+）·cos（x+）=2sin（x+）cos（x+），∴原式==2sin（x+）=2cos（-x）由解法1可知cos（-x）=，∴原式=2×=.温馨提示（1）在给值求值问题中，应该首先找出已知中的角和所求式中角的联系，这是我们解决三角函数问题的常规思路，概括为“先角后函数”.（2）

9、对于二倍角应该有广义上的理解，4α是2α的2倍，3α是α的2倍，±2x是±x的2倍.各个击破类题演练1求下列各式的值：（1）（cos-sin）（cos+sin）；（2）-cos2；（3）+cos215°；（4）tan67°30′-tan22°30′.解：（1）原式=cos2-sin2=cos=；（2）原式=-（2cos2-1）=-·cos=；（3）原式=（2cos215°-1）=·cos30°=；（4）原式=tan67°30′-tan(90°-67°30′)=tan67°30′-=变式提升1化简：sin10°sin30°sin50°sin70°.解：原式=cos8

10、0°·cos40°·cos20°=.类题演练2化简：（1）；（0＜α＜）（2）θ∈（0，π）；解：（1）原式==

11、sinα-cosα

12、.∵0＜α＜，∴sinα＜cosα，sinα-cosα＜0.∴原式=-（sinα-cosα）=cosα-sinα.（2）原式===

13、sin+cos

14、-

15、sin-cos

16、∵0＜θ＜π，∴0＜＜.①当0＜≤时，cos≥sin＞0，此时原式=（sin+cos）-（cos-sin）=2sin，②当＜＜时，sin＞cos＞0，此时原式=（sin+cos）-（sin-cos）=2cos.变式提升2化简：.解法1：原式===cot2α.解法2：原

17、式====cot2α.类题演练3(2005江苏，10)若sin（-α）=，则cos（+2α）等于（）A.B.C.D.解析：cos（+2α）=2cos2（+α）-1.∵（-α）+（+α）=，∴cos（+α）=sin（-α）=.∴cos（+2α）=2×（）2-1=.答案：A变式提升3若cos（+x）=，＜x＜.求的值.解法1：∵cos（+x）=，＜x＜，∴＜+x＜2π，则sin（+x）=-.从而cosx=cos［（+x）-］=cos（+x）cos+sin（+x）sin=×+（-）×=，∴sinx=，tanx=7.故原式===.解法2：原式===sin2x·tan（+x

18、）.∵＜x