高中数学第三章三角恒等变换3.3二倍角的三角函数学案北师大版必修4

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1、1.2二倍角的三角函数知识梳理1.倍角公式（1）公式：sin2α=2sinαcosα；（S2α）cos2α=cos2α-sin2α=2cos2α-1=1-2sin2α;（C2α）tan2α=.（T2α）（2）公式的理解①成立的条件：在公式S2α、C2α中，角α可以为任意角，T2α则只有当α≠kπ+及α≠+（k∈Z）时才成立.②倍角公式不仅限于2α是α的二倍形式，其他如4α是2α的二倍、是的二倍、3α是的二倍等等都是适用的.要熟悉多种形式的两个角的倍数关系，才能熟练地应用好二倍角公式，这是灵活运用公式的关键.③cos2α的变形：cos2α=cos2α-sin2α=2cos2α-1

2、=1-2sin2α，cos2α=，sin2α=；（这两个公式称为降幂公式）1+cos2α=2cos2α，1-cos2α=2sin2α.（这两个公式称为升幂公式）2.半角公式（1）公式：sin=±；cos=±；tan=±.（2）公式的理解关于半角正切公式：tan=不带有根号，而且分母为单项式，运用起来特别方便，但要注意它与以下两个公式：tan=±和tan=的使用范围不完全相同，后两个公式只要α≠(2k+1)π（k∈Z），而第一个公式除α≠(2k+1)π（k∈Z）之外，还必须有α≠2kπ（k∈Z）.当然，这三个公式可以互化，在使用时要根据题目中式子的特征灵活选用.知识导学①要学好本

3、节，有必要复习两角和的正弦、余弦、正切公式；②学好本节的小窍门：在公式的选择运用上，审题是关键，找准题目的突破口，选择适当的方法，定能事半功倍；③选择二倍角余弦公式形式的策略：1加余弦想余弦；1减余弦想正弦；幂升一次角减半；幂降一次角翻番.解释如下：难疑突破1.求半角的正切值常用什么方法？剖析：难点是半角的正切值公式有三种形式，到底选择哪个来处理问题，突破的路径是靠平时经验的积累.根据经验有，处理半角的正切问题有三条途径：第一种方法是用tan=±来处理；第二种方法是用tan=来处理；第三种方法是用tan=来处理.例如：已知cosα=，α为第四象限的角，求tan的值.解法一：（用

4、tan=±来处理）∵α为第四象限的角，∴是第二或第四象限的角.∴tan<0.∴tan===.解法二：（用tan=来处理）∵α为第四象限的角，∴sinα<0.∴sinα=.∴tan==.解法三：（用tan=）∵α为第四象限的角，∴sinα<0.∴sinα=.∴tan==.比较上述三种解法可知：在求半角的正切tan时，用tan=±来处理，要由α所在的象限确定所在的象限，再用三角函数值的符号取舍根号前的双重符号；而用tan=或tan=来处理，可以避免这些问题.尤其是tan=，分母是单项式，容易计算.因此常用tan=求半角的正切值.2.为什么说1+sinα和1-sinα是完全平方的形式

5、？剖析：疑点是对此结论总是产生质疑.其突破的方法是学会推导.要明确这个问题，先从完全平方公式来分析.(a+b)2=a2+2ab+b2；(a-b)2=a2-2ab+b2，由此看一个式子是完全平方的形式，必须有a2+2ab+b2或a2-2ab+b2的形式特点.1±sinα要具备这种形式特点，需要进行恒等变形.观察到完全平方的式子中有a2和b2，联想1±sinα中的1能变形为平方和的形式，即变形的方向是1=a2＋b2，sinα=2ab.由同角三角函数基本关系式和二倍角的正弦公式得1±sinα=sin2+cos2±2sincos=(sin±cos)2.这个结论应用很广泛.