高中数学第三章三角恒等变换3.3二倍角的三角函数自主训练北师大版必修4

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1、3.3二倍角的正弦、余弦和正切自主广场我夯基我达标1.若sin2α=，且α∈（，），则cosα-sinα的值是（）A.B.C.-D.-思路分析：要求cosα-sinα的值，可以先求(cosα-sinα)2，其展开式中的2sinαcosα就是已知的sin2α，应当注意的是在（,）上，cosα

2、cosθ

3、=，＜θ＜3π，则sin的值为（）A.B.C.D.思路分析：根据<θ<3π,可知角θ是第二象限角，其余弦值为负，即cosθ=-，而<<为第三象限角，正弦值为负，于是利用半角公式即得结果.答案：C3.若＜α＜2π，则等于（）A.cosB.-sin

4、C.-cosD.sin思路分析：根据本题结构特点，连续两次使用公式1+cos2α=2cos2α，达到脱去根号的目的，这是解这类问题的常规思路.答案：C4.(全国高考卷Ⅱ，文10)若f(sinx)=3-cos2x，则f(cosx)为（）A.3-cos2xB.3-sin2xC.3+cos2xD.3+sin2x思路分析：∵f(sinx)=3-cos2x=3-(1-2sin2x)=2+2sin2x，∴f(x)=2+2x2.∴f(cosx)=2+2cos2x=3＋cos2x.答案：C5.若f（α）=cotα-，那么f（）的值为______________.思路分析：将函数f(α)化简变形可得简单形

5、式，即f(α)=cotα+cotα+tanα=，所以f()==2.答案：26.(2006湖南高三百校大联考第二次，11)函数y=sin2x-sin4x的最小正周期是T=____________.思路分析：将函数解析式化为y=sin2x-sin4x=sin2x(1-sin2x)=sin2xcos2x=sin22x=-(1+cos4x)，∴T==.答案：7.已知α为钝角、β为锐角且sinα=，sinβ=，则cos的值为______________.思路分析：∵α为钝角、β为锐角，且sinα=，sinβ=，∴cosα=，cosβ=.∴cos（α-β）=cosα·cosβ+sinα·sinβ=.

6、∵＜α＜π，0＜β＜，又∵0＜α-β＜π，0＜＜，∴cos＞0.∴cos=答案：8.化简-sin10°.思路分析：1±sinα是完全平方的形式.解：原式==

7、sin5°+cos5°

8、+

9、sin5°-cos5°

10、=

11、sin50°

12、+

13、cos50°

14、=sin50°+cos50°=2sin95°=2cos5°.我综合我发展9.(2006北京高考卷，理15)已知函数f(x)=.（1）求f(x)的定义域；（2）设α为第四象限的角，且tanα=，求f(α)的值.思路分析：（1）即解cosx≠0；（2）化简f(α)，再求值.解：（1）由cosx≠0得x≠kπ+(k∈Z)，故f(x)的定义域为{x∈R

15、

16、x≠kπ+,k∈Z}.（2）因为tanα=，且α是第四象限的角，所以sinα=-,cosα=,故f(x)=====2(cosα-sinα)=.10.(2006广东高考卷，15)已知函数f(x)=sinx+sin(x+),x∈R,（1）求f(x)的最小正周期；（2）求f(x)的最大值和最小值；（3）若f(α)=，求sin2α的值.思路分析：化为y=Asin(ωx+φ)的形式来讨论其性质.解：f(x)=sinx+sin(x+)=sinx+cosx=sin(x+).（1）f(x)的最小正周期为T==2π.（2）f(x)的最大值为2和最小值为-2.（3）因为f(α)=，即sinα+cosα=.∴

17、(sinα+cosα)2=.∴2sinαcosα=，即sin2α=.11.已知sinα=，sin（α+β）=，α与β均为锐角，求cos.思路分析：要求的是β的一半，而β=(α+β)-β，于是转化为已知的角，根据sinα和sin(α+β)，结合平方关系式可得cosα和cos(α+β)，从而求出cosβ，再运用半角公式求得结论，解答本题时一定要考虑到角的范围.解：∵0＜α＜，∴cosα==.又∵0＜α＜，0＜β＜，∴0＜α+β＜π.若０＜α+β＜，∵sin（α+β）＜sinα，∴α+β＜α不可能.故＜α+β＜π.∴cos（α+β）=.∴cosβ=cos［（α+β）-α］=cos（α+β）co

18、sα+sin（α+β）sinα=×+×=.∵0＜β＜，∴0＜＜.故cos=.12.(2006福建高考卷，理17)已知函数f(x)=sin2x+sinxcosx+2cos2x,x∈R.（1）求函数f(x)的最小正周期和单调增区间；（2）函数f(x)的图像可以由函数y=sin2x(x∈R)的图像经过怎样的变换得到？思路分析：将函数的解析式化为y=Asin(ωx+φ)+b的形式，再讨论其性质.解：f(x)=sin2x+(1+cos2x)=