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《高中数学第三章基本初等函数ⅰ3.3幂函数学习导航学案新人教b版必修1》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、3.3幂函数自主整理1.幂函数的定义(1)定义:一般地，我们把形如y=xα(α∈R)的函数叫做幂函数，其中x为自变量，α为常数.(2)关于定义的理解：①幂的底数是自变量;②幂的指数是一个常数，它可以取任意实数;③幂值前面的系数是1，否则不是幂函数,如函数y=5x就不是幂函数.④幂函数的定义域是使xα有意义的所有x的集合，因α的不同，定义域也不同,如函数y=x2的定义域为R，而函数y=的定义域为{x
2、x∈R,且x≠0}.2.函数y=x，y=x2，y=x3，y=x，y=x-1的图象与性质:y=xY=x2y=x3y=xy=x
3、-1图象定义域RRR［0,+∞)(-∞,0)∪(0,+∞)值域R［0,+∞)R［0,+∞)(-∞,0)∪(0,+∞)奇偶性奇偶奇非奇非偶奇单调性增增增定点(0,0),(1,1)(0,0),(1,1)(0,0),(1,1)(0,0),(1,1)(1,1)3.幂函数的性质当n>0时，幂函数y=xn有下列性质：（1）图象都通过点（0，0），（1，1）；（2）在第一象限内，函数值y随x的增大而增大.当n<0时，幂函数y=xn的性质：（1）图象都过点（1，1）；（2）图象以直线x=0，y=0为渐近线；（3）在第一象限内的图象
4、是下降的，即函数值y随x的增大而减小；（4）x∈(0,1)时，n越大曲线越靠近y轴;x∈(1,+∞)时，n越小曲线越靠近x轴.高手笔记1.判断函数是否为幂函数时要根据定义，即xα的系数为１，指数位置的α为一个常数，且常数项要为０，或者经过变形后满足条件的均可.2.在研究幂的性质时，通常将分数指数幂化为根式形式，负指数整数幂化为分式形式再去进行讨论.3.记忆口诀：如何分析幂函数，记住图象是关键，虽然指数各不同，分类之后变简单.大于0时抛物线，小于0时双曲线，还有0到1之间，抛物开口方向变,不仅开口向右方，原来图象取一半.
5、函数奇偶看指数，奇母奇子奇函数，奇母偶子偶函数，偶母非奇偶函数.图象第一象限内，函数增减看正负.名师解惑1.如何理解幂函数的图象和性质?剖析：幂函数y＝xn的性质和图象，由于n的取值不同而比较复杂，我们可以从下面几个方面来把握：(1)n<0时,图象不过原点,在第一象限内图象是下降的曲线,幂函数的图象在区间(0,+∞)上是减函数.在第一象限内，当x从右边趋向原点时，图象在y轴右方无限地逼近y轴正半轴，当x趋于+∞时，图象在x轴上方无限地逼近x轴正半轴.n>0时,图象必经过原点和(1,1)两定点,在第一象限内图象是上升的曲
6、线,并且在区间［0,+∞)上是增函数.(2)幂函数的图象和性质,可归纳为下表:图象幂函数y=xn(n为常数)n>0n<0性质(1)图象都通过点(0,0)和(1,1);(2)在第一象限内,函数值随x的增大而增大(1)图象都通过(1,1);(2)在第一象限内,函数值随x的增大而减小;(3)以x、y轴为渐近线2.当n取不同的有理数时，幂函数y=xn的定义域怎样？剖析：当n∈N*时，定义域为R；当n=0时，定义域为{x
7、x≠0}；当n为负整数时，定义域为{x
8、x≠0}；当n=(p,q∈N*,q>1且p,q互质）时，①若q为偶数
9、，则定义域为［0,+∞)；②若q为奇数，则定义域为R；当n=(p,q∈N*,q>1且p,q互质）时，①若q为偶数，则定义域为(0,+∞)；②若q为奇数，则定义域为{x
10、x≠0}.讲练互动【例题1】若（a+1）＜（3-2a），则a的取值范围是__________.解析：因为函数y＝x在［0，+∞)上单调递增，所以y＝x在(0，+∞)上单调递减.所以解得＜a＜.答案：（，）绿色通道虽然解决恒成立问题方法很多，但这里由于是选择题，用赋值法较方便.黑色陷阱忘记负指数幂函数底数需大于0，将导致解题错误.用幂函数的单调性解不等式，
11、但要注意x的取值范围.变式训练1.已知(x-3)<(1+2x)，求x的取值范围.分析:其实质是解不等式(x-3)<(1+2x)，由于不等式的左右两边的幂指数都是，因此可借助于幂函数y=x的图象性质来求解.解：因为y=x在(-∞,0)和(0,+∞)上为减函数.x>0时，y>0；x<0时，y<0,原不等式可以化为：①②③①无解；②的解为x<-4；③的解是12、x<-4或13、大小，将它们看成指数相同的两个幂.由于幂函数f（x）＝xa（0＜a＜1)在区间［0，＋∞）上是增函数，因此只需比较底数a与aa的大小.由于指数函数y＝az（0＜a＜1）是减函数，且a＜1，所以a＜aa，从而aa＜（aa）a.比较aa与（aa）a的大小，也可将它们看成底数相同（都是aa）的两个幂，于是可以利用指数函数y＝bx（b＝a
