资源描述：
《高中数学第三章指数函数对数函数和幂函数3.3幂函数名师导航学案苏教版必修1》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、3.3幂函数名师导航知识梳理1.幂函数的概念定义：形如___________的函数叫做幂函数，其中___________是自变量，___________是常数.注意：在这里我们只讨论α为有理数时的简单的幂函数.虽然y=x、y=x2是幂函数，但并不是所有的一次函数、二次函数都是幂函数，如：y=x+1、y=2x2+1、y=x-1、y=x2+2x、y=2x都不是幂函数，它们并不满足幂函数的定义，但它们是与幂函数相关联的函数，它们是由幂函数与常数经过算术运算得到的.2.幂函数的定义域幂函数的定义域就是使幂函数有意义的实数x的集合.如
2、果幂函数的指数是常数，则幂函数的定义域较好求，若是给出字母指数，应分四种情况讨论y=xn的定义域.(1)当指数n是正整数时，y=xn的定义域是___________.(2)当指数n是正分数时，设n=(p、q是互质的正整数，q>1)，则xn=.如果q是奇数，y=xn的定义域是_____________；如果q是偶数，y=xn的定义域是_____________.(3)当指数n是负整数时，设n=-k，则xn=.显然x≠0，y=xn的定义域是.(4)当指数n是负分数时，设n=-(p、q是互质的正整数，q>1),则xn=.如果q是奇
3、数，y=xn的定义域是_____________；如果q是偶数，y=xn的定义域是_____________.3.幂函数的图象描绘幂函数的图象：依幂函数的定义域先列出对应值表，再用描点法作图.列出对应值表是描点法的关键.例如，画出函数y=x-2，y=的图象.y=x-2定义域为(-∞,0)∪(0,+∞)(图(1)),x…-3-2-1-123…y=x-2…1441…y=定义域为(0,+∞)(图(2)).x…14…y=…4321…(1)(2)4.幂函数的性质当n>0时，幂函数y=xn有下列性质：(1)图象都通过点(0，0)，(1，
4、1)；(2)在第一象限内，函数值y随x的增大而增大.当n<0时，幂函数y=xn的性质：(1)图象都过点(1，1);(2)图象以直线x=0，y=0为渐近线;(3)在第一象限内的图象是下降的，即函数值y随x的增大而减小;(4)x∈(0,1)时，n越大曲线越靠近y轴,x∈(1,+∞)时，n越小曲线越靠近x轴.疑难突破1.幂函数y=x,y=x2,y=x3,y=,y=x-1的性质是什么？幂函数y=xy=x2y=x3y=y=x-1定义域RRR［0,+∞){x
5、x∈R且x≠0}值域R［0,+∞)R［0,+∞){y
6、y∈R且y≠0}奇偶性奇
7、偶奇非奇非偶奇单调性增x∈［0,+∞)时,增;x∈(-∞,0)时,减增增x∈(0,+∞)时,减;x∈(-∞,0)时,减过定点(1,1),(0,0)(1,1),(0,0)(1,1),(0,0)(1,1),(0,0)(1,1)2.当n取不同的有理数时，幂函数y=xn的定义域怎样？当n∈N*时，定义域为R；当n=0时，定义域为{x
8、x≠0}；当n为负整数时，定义域为{x
9、x≠0}；当n=(p、q∈N*,q>1且p、q互质)时，①若q为偶数，则定义域为［0,+∞)；②若q为奇数，则定义域为R；当n=-(p、q∈N*,q>1且p、
10、q互质)时，①若q为偶数，则定义域为(0,+∞)；②若q为奇数，则定义域为{x
11、x≠0}.问题探究问题1幂函数与指数函数有何不同？探究思路：虽然幂函数和指数函数的表达式都是指数式的形式，但二者的定义域不同，即指数函数y=a2中，指数是自变量，而幂函数y=xα中，底数是自变量.当然，由此可见，二者的对应关系和值域也不同.问题2分数指数幂可以与根式相互转化.把下列各函数先化成根式形式，再指出它的定义域和奇偶性.利用几何画板画出它们的图象，观察它们的图象，看有什么共同点.(1)y=；(2)y=；(3)y=；(4)y=.探究思路：先
12、将各式化为根式形式：(1)y=；(2)y=；(3)y=；(4)y=.函数的定义域就是使这些根式有意义的实数x的集合；奇偶性直接利用定义进行判断.(1)的定义域为[0，+∞)，(2)(3)(4)的定义域都是R；其中(1)既不是奇函数也不是偶函数，(2)(4)是奇函数，(3)是偶函数.它们的图象都经过点(0，0)和(1，1)，且在第一象限内函数图象自左而右呈上升趋势，即函数在x∈[0，+∞)上单调递增.典题精讲例1若＜，则a的取值范围是______________.思路解析因为函数y=在[0，+∞)上单调递增，所以y=在[0，+
13、∞)上单调递减.所以解得＜a＜.答案:(，)例2已知0＜a＜1，试比较aa，(aa)a，的大小.思路解析为比较aa与(aa)a的大小，将它们看成指数相同的两个幂.由于幂函数f(x)=xa(0＜a＜1＝在区间[0，+∞)上是增函数，因此只需比较底数a与aa的大小.由于指数函数y=az(0＜a
