高中数学第二章圆锥曲线与方程2.5直线与圆锥曲线学案新人教b版选修2

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1、2.5　直线与圆锥曲线1．能用坐标法解决直线与圆锥曲线的位置关系问题和实际问题．2．掌握直线与圆锥曲线的位置关系的判断，弦长问题，中点弦及相关问题．1．直线与圆锥曲线的位置关系(1)从几何角度看，可分为三类：无公共点，仅有一个公共点及有两个相异的公共点．(2)从代数角度看，可通过将表示直线的方程代入二次曲线的方程消元后所得一元二次方程解的情况来判断．设直线l的方程为Ax＋By＋C＝0，圆锥曲线方程为f(x，y)＝0.由消元，如消去y后得ax2＋bx＋c＝0.①若a＝0，当圆锥曲线是双曲线时，直线l与双曲线

2、的渐近线平行或重合；当圆锥曲线是抛物线时，直线l与抛物线的对称轴平行(或重合)．②若a≠0，设Δ＝b2－4ac.(ⅰ)Δ____0时，直线和圆锥曲线相交于不同两点；(ⅱ)Δ____0时，直线和圆锥曲线相切于一点；(ⅲ)Δ____0时，直线和圆锥曲线没有公共点．如果直线和圆锥曲线只有一个公共点，那么它们不一定相切．如，当直线和双曲线的渐近线平行或直线与抛物线的对称轴平行时，它们只有一个公共点，它们是相交的位置关系，而不是相切．【做一做1－1】过原点的直线l与双曲线－＝1有两个交点，则直线l的斜率的取值范围是

3、(　　)A．B．∪C．D．∪【做一做1－2】直线y＝kx－k＋1与椭圆＋＝1的位置关系为(　　)A．相交B．相切C．相离D．不确定2．直线与圆锥曲线相交时的弦长问题(1)斜率为k的直线与圆锥曲线交于两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，则所得弦长

4、P1P2

5、＝______________或

6、P1P2

7、＝________________.(2)当斜率k不存在时，可求出交点坐标，直接运算(利用轴上两点间距离公式)．【做一做2】已知抛物线C的顶点为坐标原点，焦点在x轴上，直线y＝x与抛物线C交于A，B两点

8、．若D(2,2)为AB的中点，则抛物线C的方程为__________．1．解决直线与圆锥曲线位置关系问题中有哪些常用的数学思想方法？剖析：(1)方程的思想．笛卡儿在创立解析几何时，他大胆设想：所有的数学问题都可以化为方程(组)问题，然后通过解方程(组)得到数学问题的解决，因此，直线和圆锥曲线位置关系的判定，直线和圆锥曲线的交点，直线和圆锥曲线相关的弦长等，都需要方程(组)来解决．(2)数形结合的思想．由于几何研究的对象是图形，而图形的直观会帮助我们发现问题，启发我们的思路，得到解决问题的有效方法，所以在解

9、决本类题目时，最好先画出草图，注意观察、分析图形的特征，将形与数结合起来．(3)设而不求与整体代入的技巧与方法．解析几何的运算具有明确的几何意义，是带有几何特色的代数计算，在处理圆锥曲线中与“中点弦”有关问题时，常用中点公式、根与系数的关系整体代入使问题得到解决．2．在直线与圆锥曲线的位置关系中，常见问题的处理方法有哪些？剖析：(1)在解析几何中，直线与曲线的位置关系可以转化为二元二次方程组的解的问题进行讨论，但直线与曲线只有一个交点中须除去两种情况，此直线才是曲线的切线：一是直线与抛物线的对称轴平行；二

10、是直线与双曲线的渐近线平行．(2)运用圆锥曲线弦长公式时，注意结合中点坐标公式和根与系数的关系求解．题型一直线与圆锥曲线的位置关系【例1】已知曲线C：x2－y2＝1及直线l：y＝kx－1.(1)若l与C有两个不同的交点，求实数k的取值范围；(2)若l与C交于A，B两点，O是坐标原点，且△AOB的面积为，求实数k的值．分析：(1)联立方程组得到(1－k2)x2＋2kx－2＝0，再由即可求得k的取值范围．(2)由(1)可得x1＋x2和x1·x2，再由面积公式即可得到．反思：一般地，在讨论直线和圆锥曲线位置关系

11、时，先联立方程组，再消去x(或y)，得到关于y(或x)的方程．如果是直线与圆或椭圆，则无需讨论二次项系数是否为零(一定不为零)，直接考虑Δ的情况即可；如果是直线与双曲线或抛物线，则需讨论二次项系数等于零和不等于零两种情况，这是要特别注意的问题．另外注意直线斜率不存在时的情形．题型二点关于直线对称的问题【例2】设椭圆C的方程为＋＝1，试确定m的范围，使C上的不同两点A，B关于直线y＝4x＋m对称．分析：利用对称性，设AB的中点为C′(x0，y0)，则A(x0－s，y0－t)，B(x0＋s，y0＋t)．再利用

12、点A，B在椭圆上，寻找中点坐标x0，y0的关系后求解．反思：(1)解决点关于直线对称，主要利用“斜率之积为－1”，“点与对称点的中点在对称轴上”两个条件．(2)本题中，求取值范围是利用了中点C′在椭圆内得到的不等式来解的．题型三易错题型【例3】已知双曲线x2－＝1，过点A(1,1)能否作直线l，使其与已知双曲线交于P，Q两点，且A是线段PQ的中点，这样的直线l如果存在，求出它的方程；如果不存在，说明理由．错解：设P(x1，y1