暑假专题 平面向量的数量积 苏教版

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1、暑假专题平面向量的数量积一.本周教学内容：暑假专题——平面向量的数量积二.本周教学目标：掌握平面向量的数量积，了解用平面向量的数量积可以处理有关长度、角度和垂直的问题，掌握向量垂直的条件。三.本周知识要点：1.两个向量的数量积：已知两个非零向量与，它们的夹角为，则·＝︱︱·︱︱cos叫做与的数量积（或内积），规定。2.向量的模与平方的关系：。3.乘法公式成立：；4.平面向量数量积的运算律：①交换律成立：②对实数的结合律成立：③分配律成立：特别注意：（1）结合律不成立：（2）消去律不成立：不能得到（3）＝0不

2、能得到＝或＝5.两个向量的数量积的坐标运算：已知两个向量，则·＝6.向量的夹角：已知两个非零向量与，作＝，＝，则∠AOB＝（）叫做向量与的夹角。cos＝＝当且仅当两个非零向量与同方向时，θ＝0°，当且仅当与反方向时θ＝180°，同时与其它任何非零向量之间不谈夹角这一问题。7.垂直：如果与的夹角为90°则称与垂直，记作⊥。8.两个非零向量垂直的条件：⊥·＝0。【典型例题】例1.判断下列各命题正确与否：（1）；（2）；（3）若，则；（4）若，则当且仅当时成立；（5）对任意向量都成立；（6）对任意向量，有。解：⑴

3、错；⑵对；⑶错；⑷错；⑸错；⑹对。例2.已知两单位向量与的夹角为，若，试求与的夹角。解：由题意，，且与的夹角为，所以，，，，同理可得而，设为与的夹角，则两向量的夹角为例3.已知，，，按下列条件求实数的值。（1）；（2）；解：（1）（2）例4.已知＝（１，），＝（＋１，－１），则与的夹角是多少?分析：为求与夹角，需先求及｜｜·｜｜，再结合夹角θ的范围确定其值。解：由＝（１，），＝（＋１，－１）有·＝＋１＋（－１）＝4，｜｜＝2，｜｜＝2。记与的夹角为θ，则cosθ＝又∵０≤θ≤π，∴θ＝例5.在△ABC中，＝

4、（2，3），＝（1，k），且△ABC的一个内角为直角，求k值。解：当A＝90°时，×＝0，∴2×1+3×k＝0∴k＝当B＝90°时，×＝0，＝-＝（1-2，k-3）＝（-1，k-3）∴2×（-1）+3×（k-3）＝0∴k＝当C＝90°时，×＝0，∴-1+k（k-3）＝0∴k＝例6.已知＝（3，4），＝（4，3），求x，y的值使（x+y）⊥，且｜x+y｜＝1。分析：这里两个条件互相制约，注意体现方程组思想。解：由＝（3，4），＝（4，3），有x+y＝（3x+4y，4x+3y）又（x+y）⊥（x+y）·＝０3（

5、3x+4y）+4（4x+3y）＝0即25x+24y＝０①又｜x+y｜＝1｜x+y｜2＝１（３x+4y）2＋（４x+3y）2＝１整理得25x2＋48xy+25y2＝１即x（25x+24y）+24xy+25y2＝１②由①②有24xy+25y2＝１③将①变形代入③可得：y＝±再代回①得：【模拟试题】1.若＝（－4，3），＝（5，6），则－4＝（）A.23B.57C.63D.832.已知＝（1，2），＝（2，3），＝（－2，5），则△ABC为（）A.直角三角形B.锐角三角形C.钝角三角形D.不等边三角形3.已知＝

6、（4，3），向量是垂直的单位向量，则等于（）A.或B.或C.或D.或4.已知＝（λ，2），＝（－3，5）且与的夹角为钝角，则λ的取值范围是（）A.λ＞B.λ≥C.λ＜D.λ≤5.给定两个向量＝（3，4），＝（2，－1）且（+x）⊥（－），则x等于（）A.23B.C.D.6.＝（2，3），＝（－2，4），则（+）·（－）＝。7.已知＝（3，2），＝（－1，－1），若点P（x，－）在线段的中垂线上，则x＝。8.已知＝（1，0），＝（3，1），＝（2，0），且＝，＝，则与的夹角为。9.已知

7、

8、＝，＝（

9、1，2）且∥，则的坐标为。10.已知＝（1，2），＝（1，1），＝－k，若⊥，则＝。11.已知＝（3，0），＝（k，5）且与的夹角为，则k的值为。12.已知＝（3，－1），＝（1，2），求满足条件x·＝9与x·＝－4的向量x。13.已知ABC的三顶点分别为A（2，－1），B（3，2），C（－3，－1），BC边上的高为AD，求点D和的坐标。14.正方形ABCD中，P是对角线DB上的一点，PFCE是矩形，证明：（1）PA＝EF；（2）PAEF。[参考答案]http://www.DearEDU.com1.D2.A

10、3.D4.A5.C6.–77.8.45°9.（，2）或（－，－2）10.（）11.－512.（2，－3）13.设，则，，∵，∴，解得：。于是：，。14.不妨设：，，，，则有：，。∵，，∴；又∵，∴。