方法专题-平面向量-向量的数量积范围.docx

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1、专题平面向量-向量的数量积范围专题平面向量-向量的数量积范围例题分析如图，已知矩形ABCD的边长AB＝2，AD＝1．点P，Q分别在边BC，CD上，且∠PAQ＝45°，则·的最小值为______．参考答案：4－4．解析：解法一：以AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴，建立平面直角坐标系．设P(2，m)，其中0≤m≤1，又设Q(n，1)，因为tan∠BAQ＝tan(∠BAP＋)，即＝，所以n＝，所以·＝2n＋m＝2×＋2＝m＋2＋－4≥4－4，（坐标法分析向量数量积）当且仅当m＋2＝2，即m＝2－2时等号成立．解法二

2、：设tan∠BAP＝θ，tan∠DAQ＝－θ，则AP＝，AQ＝，所以·＝××cos（定义法分析向量数量积）＝×＝＝＝≥，当且仅当2θ＋＝，即θ＝时等号成立．解题强化如图，△ABC为等腰三角形，∠BAC＝120°，AB＝AC＝4，以A为圆心，1为半径的圆分别交AB，AC与点E，F，P是劣弧上的一点，则·的取值范围是________．参考答案：[－11，－9]坐标法分析——坐标系的建立（2018届苏州一模）专题平面向量-向量的数量积范围△ABC是边长为2的等边三角形，P是以C为圆心，1为半径的圆上的任意一点，则·的取值

3、范围是________．参考答案：[1，13]已知半径为1，圆心角为的上有一点C．当C在上运动时，D，E分别为线段OA，OB的中点，求·的取值范围．解析：以O为原点，以为x轴正方向，建立如图所示的平面直角坐标系．设＝(cosα，sinα)，0≤α≤，E(0，－)，则＝－＝(0，－)－(cosα，sinα)＝(－cosα，－－sinα)．因为D(，0)，所以＝(－，－)，所以·＝(cosα＋＋sinα)＝sin(α＋)＋．（坐标法分析向量数量积）因为0≤α≤，所以≤α＋≤，所以sin(α＋)∈[－1，1]，则sin(

4、α＋)＋∈[－，＋]．所以·∈[－，＋]．已知半径为1，圆心角为的上有一点C．(1)当C为的中点时，D为线段OA上任一点，求

5、＋

6、的最小值；(2)当C在上运动时，D，E分别为线段OA，OB的中点，求·的取值范围．解：以O为原点，以为x轴正方向，建立如图所示的平面直角坐标系．(1)设D(t，0)(0≤t≤1)，C(－，)，所以＋＝(－＋t，)，所以

7、＋

8、2＝－t＋t2＋＝t2－t＋1＝(t－)2＋(0≤t≤1)，专题平面向量-向量的数量积范围当t＝时，

9、＋

10、的最小值为．(2)设＝(cosα，sinα)，0≤α≤，E(

11、0，－)，则＝－＝(0，－)－(cosα，sinα)＝(－cosα，－－sinα)．因为D(，0)，所以＝(－，－)，所以·＝(cosα＋＋sinα)＝sin(α＋)＋．（坐标法分析向量数量积）因为0≤α≤，所以≤α＋≤，所以sin(α＋)∈[－1，1]，则sin(α＋)＋∈[－，＋]．所以·∈[－，＋]．在△ABC中，AB＝5，AC＝7，BC＝3，P为△ABC内一点(含边界)，若满足＝＋λ(λ∈R)，则·的取值范围是____________．参考答案：[，]解析：·＝·(＋λ)＝2＋λ·＝＋λ×5×3×cosB＝

12、＋15λcosB，（定义法分析向量数量积）cosB＝＝－，因此·＝－λ，而P为△ABC内一点(含边界)，＝＋λ(λ∈R)，所以λ∈[0，]，因此·的取值范围是[，]．巩固练习已知点P在圆x2＋y2＝1上，点A的坐标为(－2，0)，O为原点，则·的最大值为________．参考答案：6(2017·北京卷)解析：设P(x1，y1)．因为＝(2，0)，＝(x1＋2，y1)，所以·＝2(x1＋2)＝2x1＋4．由题意可知－1≤x1≤1，所以2≤2x1＋4≤6，故·的最大值为6．（坐标法分析向量数量积）专题平面向量-向量的数

13、量积范围在△ABC中，BC＝2，A＝，则·的最小值为________．参考答案：－　解析：设AB＝x，AC＝y，由余弦定理得22＝x2＋y2－2xycosπ，即4＝x2＋y2＋xy≥2xy＋xy，故xy≤，当且仅当x＝y时取“＝”，·＝AB·AC·cosA＝xy≥×＝－，（定义法分析向量数量积）即·的最小值为－.已知△ABC的周长为6，

14、

15、，

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17、，

18、

19、成等比数列，求：(1)△ABC面积S的最大值；(2)·的取值范围．解：设

20、

21、，

22、

23、，

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25、依次为a，b，c，则a＋b＋c＝6，b2＝ac．在△ABC中，cosB＝＝≥＝

26、，故有0＜B≤．又b＝≤＝，从而0＜b≤2．(1)S＝acsinB＝b2sinB≤×22·sin＝，当且仅当a＝c，且B＝，即△ABC为等边三角形时面积最大，即Smax＝．(2)·＝accosB＝＝＝＝－(b＋3)2＋27．因为a，b，c为△ABC的边，所以a－c＜b，即(a－c)2＜b2．因为a＋b＋c＝6，b2＝ac，所以b2＞(a＋c)2－4ac，因此