递推思想在解题中的应用例析 学法指导

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1、递推思想在解题中的应用例析刘凡纪飞卫小琴递推思想及递推方法常见于数列有关题目求解中，然而在实际中却有许多别的数学问题与此思想相结合形成一类“整合性问题”。解决这类问题时如果能融递推方法于题目之中，对学生的解题能力和创新能力的培养是大有裨益的。笔者下面结合教学实际举例说明几种常见情形的应用及求解。一.与有关函数问题的结合及求解例1.已知函数，求的值。解析：依据条件，联想到正切函数的二倍角公式，于是条件函数式可写成。所以由条件递推式得：，所以。注：本题灵活的依据函数的结构联想三角函数关系式，类比三角函数的有关运算规则

2、结合递推条件式，应用递推思想及方法使问题简易获解。例2.已知函数的图像是自原点出发的一条折线，当时，该图像是斜率为的线段（其正常数），设数列，由。定义。（1）求和。（2）求的表达式，并写出其定义域。解析：（1）要求只能紧扣题目定义。探求如下：当时，，所以。同理。所以。同理，由此递推关系可求得：。（2）由知：当时，，当时，。（以下略）例3.设是定义在非零自然数集上的函数，满足，对任意非零自然数x有。求之值。解：条件等式可转化为，由此递推关系式可令得：。。把上述各式相加得：。将代入得：。二.与立体几何某些问题结合及应

3、用例4.已知底面半径为r的圆锥，轴截面的顶角为，一根绳子由用最短的距离绕圆锥面一周至，再由用最短的距离绕圆锥面一周至…。如此下去，求所有绳子长度的总和。解：设轴截面顶角为，母线长为l，侧面展开图中心角为，则。所以，又。而，所以。图1中曲线长为图2中长，从作于，作。再从作于，作……，由……，所以，又，且，所以，同理。其中，所以绳子长的总和为：。三.与某些解析几何问题的结合及求解例5.在坐标平面上，是否存在一个含有无穷多条直线的直线族，使它们同时满足以下三个条件；（1）点（1，1）（2），其中是直线的斜率，与分别是直

4、线在x轴和y轴的截距；（3）。解：假设存在这样的直线族，则的方程为：分别令，得，由得，即，迭加得：，由条件（2）可知，所有同号。当时，由得。所以。显然当时，矛盾。当同样导出矛盾。故这样的直线族不存在。四.与排列、组合中某些问题的结合及求解例6.如图3所示，核心区域1被2，3，4，…，，所环绕，其中区域1与n，2两两相邻，区1，k，k+1两两相邻（）。如果用四种不同的颜色为这n个区域染色且相邻区域异色，求共有多少种不同的染色方法？解析：设满足题意的n个区域的染色方法共有。为求出，先对区域1染4种颜色的一种，共有4种

5、方法，再对区域2染色，共有3种方法，然后对区域3，4，…，染色共有2种方法，由上述分析所得到的种染色方法中，仅包括着一种不符合题意的情形，即区域2与区域n可能同色，这时可把区域2与区域n合并成一个区域，则其染色方法恰有种不合题意，于是：。即，。由定义知数列是以公比为1，首项为的等比数列，则，即。所以共有种染色方法。五.与一些概率问题的结合及求解例7.从原点出发的某质点M，按向量移动的概率为，按向量移动的概率为，设点M可到达点（0，n）的概率为。（1）求和的值。（2）求证：（3）求的表达式。解析：（1）。（2）证明

6、：M点到达（0，）有两种情形：①从点按向量移动，其概率为；②从点（0，n）按向量移动，其概率为。故，则。（3）数列是以为首项，公比为的等比数列，所以。则。故为所求。六.与一些实际应用问题的结合及求解例8.某城市2001年末汽车保有量为30万辆，预计此后每年报废上一年末汽车保有量的6%，并且每年新增汽车数量相同。为保护城市环境，要求该城市汽车保有量不超过60万辆，那么每年新增汽车数量不应超过多少辆？解：设2001年汽车保有量为万辆，以后各年汽车保有量依次为：，…万辆，每年新增汽车为x万辆，则：。当时有，所以。所以，

7、所以数列是以为首项，以0.94为公比的等比数列。所以。所以。①当；②当是单调数列，所以。因为即。所以。综上，每年新增汽车不应超过3.6万辆。或者由两边同除以。所以。把上述各式相加得：。以下同上述解法（略）。