例析函数思想在数列问题中应用

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1、例析函数思想在数列问题中应用江苏省赣榆县赣马二中石延亮222125王怀学222124王怀学，男，36岁，本科学历，中学高级，赣榆县赣马高级中学任教。具有数学学科系统而坚实的理论知识和丰富的教学实践经验，具有较强的创新意识和教研科研能力，掌握教学与高考改革和发展的最新动态。从教以来，曾被县局授予“教科研先进个人”，“百名优秀指导者”等荣誉称号；所带毕业班高考数学均分超省均分，辅导学生参加省、市数学竞赛多人获奖；在《新高考》、《高考金刊》、《中学生理科应试》、《数学大世界》、《数学学习指导》、《中学生学习报》、《考试报》、《数理化解题研究》、《

2、数学之友》等省级刊物，以及省、市论文评比中发表或获奖论文多篇，兼任《高考金刊》、《学习报》等刊物特约编辑。从函数对应的角度看，数列可以看成定义在正整数集（或其子集）上，当自变量从小到大依次取值时对应的一列函数值。数列是一种特殊的函数。很多数列问题都可以放到动态背景下考虑，运用函数的概念、性质、图像从较高的角度去讨论。本文举例说明函数思想在处理数列问题中所发挥的作用。一、运用函数的有关概念理解和思考问题1、应用函数零点概念例1、已知aaaa1,0,求数列a的通项a；分析：由于数列通项a与项数n之间存在一种函数关系，1234nnna

3、fn()。因此，a0即fn()0中，n表示方程fn()0的根，或看成函数f()n的零点。本题函数f()n的零点nn是2，3，4，设akn(2)(3n)(4n)，a1,即f(1)1n111k.因此，a(2nn)(3)(4n)。n662运用函数图像上点的坐标的意义例2（1996全国卷）已知等差数列a的前m项和为30，前2m项和为100，则它的前3m项和为（）nA、130B、170C、210D、260dd2Sn分析:等差数列的前n项和S=na()n,可以看成关于n的二次式函数,则可以看成关于n的一次式

4、函n122n30100S3m数.一次函数图像是一条直线,那么三个点(,)m(2,m)(3,m)就在同一条直线yanb上,利用斜率相等,得m2m3m它的前3m项和为210.选(c).3运用复合函数概念n122例3、(2002上海卷〕已知aaa3,,nZa,求311nnn222分析:条件aa理解为f(1nf)(n)，而fnfn()(1)，n1nn12222ff(2)(1)，就这样一个函数套一个函数，得fn()((((1))))f=3二、运用函数图像直观地分析问题1、利用凸凹函数图像例4、某厂2001年投资

5、和利润逐月增加，投入资金逐月增长的百分率相同，利润逐月增加值相同。已知1月份的投资额与利润值相等，12月份投资额与利润值相等，则全年的总利润与总投资N大小关系（）A、>NB

6、立足于图像的单调区间2例5、递增数列a，对任意正整数n，ann恒成立，求nn22分析：ann看成函数f()xxx，它的定义域是n2xxxN1,，要使函数f()xxx为递增函数，即单调增区间为1,,抛物线对称轴x至少在x1的左侧，不过由于函数为离散函数，对称轴x在x1.5的左223侧也可以，因为B点可以比A点高。于是，，得3.223着眼于图像对称轴及与x轴交点位置例6、（1992全国卷）等差数列a中，a12，SS0,0。求（1）数列的公n31213差d的取值范

7、围;（2）SSS,,S中，最大值是哪一个？123n分析：（1）S可以看成关于n的二次式函数，nSS0,0可看成图像上的点（12，S）（13，S）分别在x轴上方和下方，图12131213像与x轴的交点一个介于12和13之间，另一个必过原点，开口向下。解方程dd2da21da2124na()n=0，得nn0,=，于是，1213，aa2d解得d3.1123122dd71312（2）因为6.56，可以看出抛物线对称轴介于6和6.5之间，即便向于6,因此S最大.此法关键是要确定622对称轴介于哪两整数中间，且细化到

8、偏向谁。4、构造特殊函数模型n97例7、数列通项a,前30项中最大项和最小项分别是()nn98Aaa,Ba,aCa,aDa,a1301910910309897分析:用分离