高三数学应知应会过关检测讲义13——空间直线与平面（9b）

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1、空间直线与平面（9B）一、考试说明要求：内容要求ABC1平面及其基本性质√2几何体的直观图√3直线和平面平行的判定与性质√4直线和平面垂直的判定√5三垂线定理及其逆定理√6空间向量的概念及空间向量的加法、减法和数乘√7空间向量的坐标运算√8空间向量的数量积的概念、性质√9用直角坐标计算空间向量的数量积的公式√10空间两点间距离公式√11直线的方向向量、平面的法向量、向量在平面内的射影√12直线和直线、直线和平面、平面和平面所成的角√13距离(对异面直线的距离,只要求会计算给出公垂线或在坐标表示下的距离)√14直线和平面垂直的性质√15两个平面平行、垂直的判定

2、与性质√二、应知应会知识1.(1)在以下命题中:①若a、b共线，则a与b所在直线平行②若a，b所在直线是异面直线，则a与b一定不共面③若a，b，c三向量两两共面，则a，b，c三向量一定也共面④若a，b，c三向量共面，则由a，b所在直线所确定的平面与由b，c所在直线所确定的平面一定平行。正确命题的个数为（A）A.0B.1C.2D.3(2)设O，P，A，B为空间任意四个点，如果满足=m+n，且m+n=1，则（A）A.P在直线AB上B.P不在直线AB上C.P有可能在直线AB上D.以上都不对(3)下列命题中不正确的命题个数是()①若A、B、C、D是空间任意四点，则有

3、+++=0;②

4、a

5、－

6、b

7、=

8、a+b

9、是a、b共线的充要条件;③若a、b共线，则a与b所在直线平行;④对空间任意点O与不共线的三点A、B、C，若=x+y+z（其中x、y、z∈R），则P、A、B、C四点共面(C)A.1B.2C.3D.4(4)命题：①若a与b共线，b与c共线，则a与c共线；②向量a、b、c共面，则它们所在的直线也共面；③若a与b共线，则存在唯一的实数λ，使b=λa；④若A、B、C三点不共线，O是平面ABC外一点，=++，则点M一定在平面ABC上，且在△ABC内部.上述命题中的真命题是_____________.④解：①中b为零向量时，a与c可

10、以不共线，故①是假命题；②中a所在的直线其实不确定，故②是假命题；③中当a=0，而b≠0时，则找不到实数λ，使b=λa，故③是假命题；④中M是△ABC的重心，故M在平面ABC上且在△ABC内，故④是真命题.(5)已知、是空间两个单位向量，它们的夹角为60°，设向量=2+，=－3+2，则向量与的夹角是_______.120°(6)若e1，e2，e3是三个不共面向量，试问向量a=3e1+2e2+e3，b=－e1+e2+3e3，c=2e1－e2－4e3是否共面，并说明理由。解：由共面向量定理可知，关键是能否找到三个不全为零的实数x，y，z，使得xa+yb+zc=0

11、，即x（3e1+2e2+e3）+y（－e1+e2+3e3）+z（2e1－e2－4e3）=0，即（3x－y+2z）e1+（2x+y－z）e2+（x+3y－4z）e3=0。由于e1，e2，e3不共面，故得3x－y+2z=0，①2x+y－z=0，②x+3y－4z=0。③①+②求得z=－5x，代入③得y=－7x，取x=1，则y=－7，z=－5，于是a－7b－5c=0，即a=7b+5c，所以a，b，c三向量共面。(7)已知向量=（3，0，1），=（-1，1，2），⊥，∥，若=－，求向量的坐标。（-，1，）考查空间向量的概念及运算.要求空间向量的加法、减法和数乘、空间向

12、量的坐标运算、空间向量的数量积的概念、性质.2.(1)下列五个正方体图形中，l是正方体的一条对角线，点M、N、P分别是其所在棱的中点，能得出l⊥平面MNP的图形的序号是_____________.①④⑤.(2)设=（cosα，1，sinα），=（sinα，1，cosα），求证：（+）⊥（－）。(3)已知正四棱柱ABCD—A1B1C1D1.AB=1，AA1=2，点E为CC1中点，点P为BD1中点.证明EF为BD1与CC1的公垂线；证：建立如图的坐标系，得B（0，1，0），D1（1，0，2），F（，，1），C1（0，0，2），E（0，0，1）.即EF⊥CC1，E

13、F⊥BD1.故EF是为BD1与CC1的公垂线.(4)已知=（2，2，1），=（4，5，3），求平面ABC的单位法向量.解：单位法向量n0=±=±（，－，）.(5)已知空间三点A（0，2，3），B（-2，1，6），C（1，-1，5）：（Ⅰ）求以向量、为一组邻边的平行四边形的面积S；（Ⅱ）若向量分别与向量、垂直，且

14、

15、=，求向量a的坐标。（Ⅰ）=（-2，-1，3），=（1，-3，2），则cos∠BAC==，∴∠BAC=，∴S=

16、

17、·

18、

19、·sin=7（Ⅱ）设=（x，y，z），则⊥-2x－y+3z=0①⊥x－3y+2z=0②

20、

21、=x2+y2+z2=3③由式①、②、③

22、解得，x=y=z=1或x=y=z=-1.∴=（1，1