高中数学实际问题的函数建模 练习与解析 北师大版 必修1

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1、实际问题的函数建模练习与解析　　一、选择题　　1．某种商品1995年提价25%，1998年要恢复成原价，则应降价（　　）　　　　A．30%　　　　B．25%　　　　C．20%　　　　D．15%解析：设1995年提价前的价格为a，1998年要恢复成原价应降价x．　　于是有a（1＋25%）（1－x）＝a，解得，即应降价20%，故选C．　　答案：C　　2．某种商品进货单价40元，若按每个50元的价格出售，能卖出50个，若销售单价每上涨1元，则销售量就减少1个．为了获得最大利润，此商品的最佳售价应定为每个________元．（　　

2、）　　　　A．50　　　　　B．60　　　　　C．70　　　　　D．80　　解析：设此商品最佳售价为每个（50＋x）元，则此时可销出（50－x）个，　　于是获利为（50＋x）（50－x）－40（50－x）＝－x2＋40x＋500＝－（x－20）2＋900．因此，当x＝20时，获利最大．　　故商品最佳售价为每个50＋20＝70（元）．故选C．　　答案：C　　3．某产品的总成本y（万元）与产量x（台）之间的函数关系式是y＝3000＋20x－0.1x2（0＜x＜240，xN），若每台产品的售价为25万元，则生产者不亏本时（销售收

3、入不小于总成本）的最低产量是（　　）　　　　A．100台　　　B．120台　　　　C．150台　　　D．180台　　解析：由25x≥3000＋20x－0.1x2，得x2＋50x－30000≥0．代入验证知150适合；故选C．　　答案：C　　4．如图（1）所示，液体从一圆锥形漏斗漏入一圆柱形桶中，开始时，漏斗盛满液体，经过3min漏完．已知圆柱中液面上升的速度是一个常量，H是圆锥形漏斗中液面下落的距离，则H与下落时间t（min）的函数关系表示的图象只可能是（　　）　　解析：H的变化由慢到快，故选B．　　答案：B　　二、填空题

4、　　5．某商人购货，进价已按原价a扣去25%，他希望对货物订一新价，以便按新价让利20%销售后仍可获得售价25%的纯利，则此商人经营这种货物的件数x与按新价让利总额y之间的函数关系是_________．　　解析：设新价为b，则售价为b（1－20%），因为原价为a，所以进价为a（1－25%）．根据题意，得b（1—20%）－a（1－25%）＝b（1－20%）·25%．　　化简，得．　　∴y＝b·20%·x＝·20%·x，　　即（xN*）．　　答案：（xN*）　　6．某工厂生产某种产品的固定成本为2000万元，并且每生产一单位产

5、品，成本增加10万元．又知总收入K是单位产品数Q的函数K（Q）＝40Q－，则总利润L（Q）的最大值是_________．　　答案：2500万元　　提示：总利润L＝总收入K－总支出（生产成本＋固定成本）．　　所以．　　故当Q＝300时，总利润最大值为2500万元．　　三、解答题　　7．某摩托车生产企业，上年度生产摩托车的投入成本为1万元／辆，出厂价为1.2万元／辆，年销售量为1000辆．本年度为适应市场需求，计划提高产品档次，适度增加投入成本．若每辆车投入成本增加的比例为x（0＜x＜1），则出厂价相应提高的比例为0.75x，

6、同时预计年销售量增加的比例为0.6x，已知年利润＝（出厂价－投入成本）×年销售量．　　（1）求本年度预计的年利润y与投入成本增加的比例x的关系式；　　（2）为使本年度的年利润比上年有所增加，求投入成本增加的比例x的取值范围．　　解：（1）出厂价为：1.2（1＋0.75x），投入成本：1＋x，年销售量：1000（1＋0.6x）．　　∴y＝［1.2（1＋0.75x）－（1＋x）］1000·（1＋0.6x）　　＝（0.2－0.1x）1000·（1＋0.6x）　　＝－60x2＋20x＋200（O＜x＜1）．　　（2）由于上年度利润

7、为200万元，所以－60x2＋20x＋200＞200．　　∴－60x2＋20x＞0．∴0＜x＜．　　∴x的取值范围为（0，）．　　8．我国辽东半岛普兰店附近的泥炭层中，发掘出古莲子，至今大部分还能发芽开花，这些古莲子是多少年以前的遗物呢？要测定古物的年代，可用放射性碳法：在动植物的体内都含有微量的放射性C14，动植物死亡后，停止了新陈代谢，C14不再产生，且原有的C14会自动衰变，经过5570年（叫做C14的半衰期），它的残余量只有原始含量的一半，经过科学测定知道，若C14的原始含量为a，则经过t年后的残余量a′与a之间满

8、足a′＝a·e－kx．现测得出土的古莲子中C14残余量占原量的87.9%，试推算古莲子的生活年代．　　解：a′＝a·e－kx，即，两边取对数，得．　　①　　又知C14的半衰期是5570年，即t＝5570时，，　　所以，即，代人①式，并整理得　　，这就是利用放射性碳法计算古生物年代的公式．现测得古莲子的是