高中数学实际问题的函数建模-例题思考 北师大版 必修1

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1、实际问题的函数建模-例题思考　　1．由变量之间的依存关系建立函数关系解题的关键在于正确分析问题中量与量之间的内在本质联系，抓住主要因素进行抽象，其基本步骤是“四步八字”，即　　①审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择模型；　　②建模：将文字语言转化为数学语言，利用数学知识，建立相应的数学模型；　　③求模：求解数学模型，得出数学结论；　　④还原：将利用数学知识和方法得出的结论，还原为实际问题的意义．　　此四步用框图可表示为　　常见的函数模型有：　　（1）代数函数模型．这是一种较为简便的函数模型，在这种模型中，变量与变量之间满足一个代数方程．　　例如：某

2、湖滨住宅小区为了营造一个优雅、舒适的生活环境，计算建造一个八边形的休闲花园，它的主体造型的平面图是由两个相同的矩形ABCD和EFGH构成的面积为200m2的十字形地域，且计划在正方形MNPK上建一座花坛，造价为4200元/m2，在四个相同的矩形上（下图阴影部分）铺花岗岩路面，造价为210元/m2，再在四个三角形空地上铺草坪，造价为80元/m2．问矩形宽为多少时，总造价最小？　　设AD＝x，AM＝y，则x2＋4xy＝200，　　∴．　　∴总造价．　　这就是这一问题中的变量所满足的代数方程，这样，可以建立一个代数函数模型：　　“x为何值时，函数有最大值．”　　我们可以通

3、过演算、推理得代数函数模型的解：．当，即时，Q最小．　　从而得到原实际问题的解：当矩形的宽为（约等于3.16）米时，总造价最小．　　下面让我们再观察另一个例子：　　一个工厂得到任务需要加工6000个零件A和2000个零件B．该厂共有工人214名，每个人加工5个零件A的时间可以加工3个零件B．现将工人分成两组，分别加工一种零件，同时开始．应怎样分组，才能使任务最快完成？　　设加工零件A的工人数为x，在单位时间里一个工人加工零件A的数目为5k，加工零件B的数目为3k，则加工零件A所需时间为，　　加工零件B所需时间为，其中k为一个比例常数，最后完成任务的时间就为．而，　　

4、这也可以看作是这一问题中变量所满足的代数方程．于是，问题就归结为以下的代数函数模型：　　“自然数x（1≤x≤213）取多少时，函数f（x）有最小值．”　　从函数图象如上图可以看到，当，即时，f（x）有最小值．因x0为非自然数，故而比较f（x）在x0的两个邻近自然数x1＝137，x2＝138处的函数值，有f（137）＜f（138）．所以加工零件A、B的人数分别为137、77名时，可以最快地完成任务．　　（2）指数函数模型．　　一个简单的例子是细菌的繁殖．若一开始有300个细菌，其随时间而迅速繁殖，细菌数按小时成倍增长，即有x（小时）0123y（细菌数）30060012

5、002400点ABCD　　600＝300·21，1200＝300·22，2400＝300·23，　　从而可以抽象归纳成一个函数模型y＝300·2x，　　这就是我们所认识的指数函数，图形见下图．由此还可以推断在实验开始之前细菌的个数，例x＝－1，即实验前1小时，细菌个数为y＝300·2－1＝150；x＝－2，即开始之前2小时，细菌个数为y＝300·2－2＝75．　　这种指数函数模型的特点是：当一个变量算术地增长时，另一变量则按一定比例的倍数增长．即有xa2a3a4a…Nay…　　下图是反映某国从1800年到1980年间人口数量的一批数据资料．（单位：百万）　　从上图所

6、反映的数据来看，当年份x每隔10年增长时，该国的人口数y近似地按一定比例的倍数增长，其几何上的图形与细菌繁殖的图形相类似．这就告诉我们可以用一个指数函数模型近似地刻画这个国家人口的变化情况．现在让我们作进一步的分析．　　考察近几十年的资料：年份人口数10年中增长的倍数192010602000019301232000001.16219401321600001.07319501513300001.14519601793200001.18519702033000001.13419802265400001.114　　从1920年到1930年中，平均每年增长；而从1920年到

7、1980年这60年来看，通过类似计算，平均每年增长率约为1.013．以这段时期中间年份1950年的人口数作为初始数据，记x为年份数，则对该国人口数y（百万）的较好的一个近似的指数函数模型为y＝151·（1.013）x－1950．　　以此为据，可以预测到2000年时，这个国家的人口数为　　151·（1.013）2000－1950＝151·（1.013）50≈288000000（人）．　　很自然地，也会提出“什么时候，该国的人口数达到4亿”这样一类的问题，这也就是在现在的指数函数模型中，已知y，求指数x的问题，正是我们所熟悉的对数函数．　　若对前面所给出的1790～