高中数学等差数列的前n项和(2)

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1、等差数列的前n项和(2)教学目标：进一步熟练掌握等差数列的通项公式和前n项和公式，了解等差数列的一些性质，并会用它们解决一些相关问题；提高学生的应用意识.教学重点：熟练掌握等差数列的求和公式.教学难点：灵活应用求和公式解决问题.教学过程：Ⅰ.复习回顾通项公式：an＝a1＋(n－1)d，求和公式：Sn＝＝na1＋dⅡ.讲授新课下面结合这些例子，来看如何应用上述知识解决一些相关问题.［例1］求集合M＝{m｜m＝7n，n∈N*，且m＜100}的元素个数，并求这些元素的和.分析：满足条件的n的取值个数即为集合M的元素个数，这些元素若按从小到大排列，则是一等差数列.解：由m＜100，得7n＜100

2、，即n＜＝14所以满足上面不等式的正整数n共有14个，即集合M中的元素共有14个，将它们从小到大可列出，得：7，7×2，7×3，7×4，…7×14，即：7，14，21，28，…98这个数列是等差数列，记为{an}，其中a1＝7，a14＝98，n＝14则S14＝＝735答：集合M中共有14个元素，它们和等于735.这一例题表明，在小于100的正整数中共有14个数是7的倍数，它们的和是735.［例2］已知一个等差数列的前10项的和是310，前20项的和是1220，由此可以确定求其前n项和的公式吗?分析：将已知条件代入等差数列前n项和的公式后，可得到两个关于a1与d的关系，然后确定a1与d，从

3、而得到所求前n项和的公式.解：由题意知S10＝310，S20＝1220将它们代入公式Sn＝na1＋d，得到解这个关于a1与d的方程组，得到a1＝4，d＝6所以Sn＝4n＋×6＝3n2＋n这就是说，已知S10与S20，可以确定这个数列的前n项和的公式，这个公式是Sn＝3n2＋n.下面，同学们再来思考这样一个问题：［例3］已知数列{an}是等差数列，Sn是其前n项和.求证：S6，S12－S6，S18－S12成等差数列，设其k∈N*，Sk，S2k－Sk，S3k－S2k成等差数列吗?解：设{an}的首项是a1，公差为d，则S3＝a1＋a2＋a3S6－S3＝a4＋a5＋a6＝(a1＋3d)＋(a2

4、＋3d)＋(a3＋3d)＝(a1＋a2＋a3)＋9d＝S3＋9dS9－S6＝a7＋a8＋a9＝(a4＋3d)＋(a5＋3d)＋(a6＋3d)＝(a4＋a5＋a6)＋9d＝(S6－S3)＋9d＝S3＋18d∴S3，S6－S3，S9－S6成等差数列.同理可得Sk,S2k－Sk,S3k－S2k成等差数列.Sk＝a1＋a2＋…＋ak(S2k－Sk)＝ak+1＋ak+2＋…＋a2k＝(a1＋kd)＋(a2＋kd)＋…＋(ak＋kd)＝(a1＋a2＋…＋ak)＋k2d＝Sk＋k2d(S3k－S2k)＝a2k+1＋a2k+2＋…＋a3k＝(ak+1＋kd)＋(ak+2＋kd)＋…＋(a2k＋kd)＝(

5、ak+1＋ak+2＋…＋a2k)＋k2d＝(S2k－Sk)＋k2d∴Sk，S2k－Sk，S3k－S2k是以Sk为首项，k2d为公差的等差数列.［例4］已知数列{an}是等差数列，a1＞0，S9＝S17，试问n为何值时，数列的前n项和最大？最大值为多少？分析：要研究一个等差数列的前n项和的最大（小）问题，有两条基本途径；其一是利用Sn是n的二次函数关系来考虑；其二是通过考察数列的单调性来解决.解法一：∵S9＝S17，S9＝9a1＋36d，S17＝17a1＋136d∴9a1＋36d＝17a1＋136d，8a1＝－100d，即d＝－a1＜0Sn＝na1＋d＝na1＋·(－a1)＝na1－a1＝

6、－a1(n2－26n)＝－a1(n－13)2＋a1∵a1＞0，∴当n＝13，Sn有最大值.最大值为a1.解法二：由a1＞0,d＜0，可知此数列为从正项开始的递减数列：a1＞a2＞a3＞a4＞……故n在某一时刻，必然会出现负项，此时前n项的和开始减少，因此，要使Sn最大，n必须使得an≥0，且an+1≤0.即解得≤n≤.∴n＝13此时，Sn最大，S13＝13a1＋d＝a1.评述：解法一利用Sn是n的二次函数关系，归纳为求二次函数的最值问题，不过要注意自变量n是正整数；解法2是从研究数列的单调性及项的正负进而研究前n项和Sn的最大值，方法更具有一般性.［例5］在数列{an}中，a1＝1，an

7、+1＝，求数列{anan+1}的前n项和.分析：要求数列{anan+1}的前n项和，需要先求数列{an}的通项公式.解：由已知得＝＋∴{}为首项为＝1，公差为的等差数列.∴＝1＋(n－1)×＝，∴an＝Sn＝a1a2＋a2a3＋…＋anan+1＝＋＋…＋＝4[(－)＋（－）＋…＋(－)]＝4(－)＝.［例6］设等差数列{an}的前n项和为Sn，已知a3＝12，S12＞0，S13＜0.(1)求公差d的取值范围；（2）指出S1，S2，…