高中数学函数与方程 知识探讨 北师大版 必修1

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1、函数与方程知识探讨　　本节包含利用函数性质判断方程解的存在和利用二分法求方程的近似解两部分内容．这是方程理论中的两个问题．　　代数方程理论有下列几个主要问题：　　（1）根式解问题；　　（2）根的分布及近似计算；　　（3）根的存在问题；　　（4）根的性质的研究．　　根式解问题就是如何把方程的根用公式表达出来．但是五次以上的代数方程和许多超越方程（如课本第132页例2）并不存在根式解或一般的公式．很多方程问题往往要回答根的存在性问题，某些问题虽然不要求得到精确的解，但往往要求得到满足一定条件的近似解．　　本节是在前

2、面学习函数的基础上，以函数为工具，利用方程与函数的关系来判定和求解方程的近似解．　　1．关于利用函数性质判定方程解的存在性问题，教材首先提出问题，通过实例分析（例1），抽象概括出函数的零点概念，并给出了零点个数与方程的实数解的关系．这就是说，方程f（x）＝0的解是否存在等价于函数f（x）的零点是否存在，也就等价于f（x）的图象与x轴是否有公共点的问题．课本中“若f（a）·f（b）＜0，则在区间（a，b）内，方程f（x）＝0至少有一个实数解”的结论是建立在连续函数基础上的，特别需要指出的是，连续函数的概念不要给学

3、生介绍，让学生通过实例直观了解什么是连续曲线就可以了．要让学生知道，初等函数的图象在其定义域内的区间上都是连续曲线．使学生理解方程与函数之间的内在联系是学好本部分内容的关键．　　例1是一个二次代数方程在（－∞，＋∞）内解的存在性问题，例2是一个超越方程在区间［－1，0］内解的存在性问题．例3首先需将一个方程转化构造出一个函数，再进行证明，难点是区间端点的选取以及对“f（a）·f（b）＜0”的本质理解“在区间（a，b）内有曲线穿过x轴”．　　2．关于利用二分法求方程的近似解问题，课本采用了二分法．二分法的优点是思

4、想方法非常简明，缺点是为了提高解的精确度，求解的过程比较长，有些计算不用计算工具甚至无法实施，往往需要借助于科学计算器．　　二分法是求实根的近似计算中行之有效的最简单的方法，它只要求函数是连续的，因此它的使用范围很广，并便于在计算机上实现，但是它不能求重根，也不能求虚根．　　二分法的一般过程是：假设f（x）在［a，b］上连续，且f（a）·f（b）＜0．（不妨设f（a）＜0，f（b）＞0）　　取区间［a，b］的中点，若，则f（x）＝0的根是；若，则令a1＝a，；若，则令，b1＝b．于是形成新区间［a1，b1］，它

5、包含f（x）＝0的根．（图（3）和图（4））图（3）　　　　　　　　　　图（4）　　再取［a1，b1］的中点，若，则．若，则令a2＝a1，；若，则令，b2＝b1．于是又形成新区间［a2，b2］，其长度等于，它包含方程f（x）＝0的根．……，若允许误差，则按这个过程作出区间［a1，b1］，［a2，b2］，…，［an，bn］，（［x］表示x的整数部分），于是是方程f（x）＝0的近似根，误差不超过．　　3．建议讲解本节内容时，适当补充相关史料，但对实根的近似计算不必介绍更多的方法．有些方法今后还会学到．对学有余力的学

6、生可指导其上网查阅一些其他简单方法，如：秦九韶法（亦称和纳法）、迭代法以及0.618法等．0.618法　　0．618法也称黄金分割法，它是批次不限定，每批做一个试验的最优方法．　　试验点的选取可以用下公式计算：　　第一个试验点：；　　其余试验：．　　注意，这里是指中间已经做过的试验点，而不是中点．　　课本第138页问题3给出了一个函数：　　f（x）＝

7、x

8、＋

9、x－b

10、＋

11、x－c

12、＋

13、x－d

14、＋

15、x－e

16、＋

17、x－f

18、．　　怎样求出这个函数的最小值呢？下面给出一个此类问题的一般的结论．　　函数（a1＜a2＜…＜an

19、）有最小值：　　（1）当n为奇数时，最小值为；　　（2）当n为偶数时，最小值为或．　　如果ai＝aj（i，j＝1，2，…n，i≠j），问题将转化为（pi为正整数，i＝1，2，…，n）型函数的最值问题．当pi（i＝1，2，…，n）为正实数的一般情况时有以下结果：　　定理：设，函数（a1＜a2＜…＜an，p1，p2，…，pn为正实数）有最小值：　　（1）时，最小值为f（a1）；　　（2）当p1＋p2＋…＋Pi－1≤且p1＋P2＋…pi＞（i＝1，…，n）时，最小值为f（ai）．函数f（x）的图象如下图所示：　　p1

20、＋p2＋…＋pi－1＜且p1＋p2＋…＋pi－1＝时，p1＋p2＋…＋pi＞时，从图象容易看出，方程f（x）＝m的解只可能有无解、一解、两解，无数个解四种情况且一解与无数解的情况均在m等于f（x）的最小值时得到．　　【例】（车站选址问题）下图是一个工厂区的地图，若干个工厂分布在公路两侧，由一些小路与公路相连，由小路经各路口的工厂数目分别为p1，p2，…，pn，现要在公路上设一个长途汽车