高中数学函数与方程 例题思考 北师大版 必修1

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1、函数与方程例题思考　　1．函数与方程有着紧密的联系．有了函数的观点，对方程的认识才会更加深刻．借助二次函数、幂函数、指数函数和对数函数的性质，我们可以采用数形结合的思想研究判断相应方程的根的存在性甚至根的个数问题．　　【例1】若方程x2＋（k－2）x＋2k－1＝0的两根中，一根在0和1之间，另一根在1和2之间，求k的取值范围．　　思路：把方程根的分布问题转化为函数零点的位置问题，画出函数图象，通过数形结合的思想来解．　　答案：如下图所示，函数f（x）＝x2＋（x－2）x＋2k－1的图象开口向上，零点x1（0，1），x2（1，2），　

2、　由　　即　　【例2】判断方程的根的个数．　　思路：在同一坐标系内作出函数和的图象，通过比较函数的增长速度，利用函数图象交点的个数，求得方程解的个数．　　答案：由f（1）＝0，，，，　　g（1）＝1，，，．　　，，　　，　　通过计算（用计算器），可知在区间［，］和区间［，］内，函数图象各有一个交点，从而方程在两个区间内各有一个根．　新题解答　　【例1】已知f（x）＝（x＋1）·

3、x＋1

4、，若关于x的方程f（x）＝x＋m有三个不同的实数解，求实数m的取值范围．　　解析：由　　得函数y＝f（x）的图象（如下图）．　　按题意，当直线y＝x

5、＋m与曲线y＝（x＋1）

6、x－1

7、有三个不同的公共点，求直线y＝x＋m在y轴上的截距m的取值范围．　　由得x2＋x＋m－1＝0．　　∵＝1－4（m－1）＝5－4m，由，得，易得实数m的取值范围是．　　点评：本题将函数与方程思想、数形结合思想、分类讨论思想、转化与化归思想有机地结合在一起．二次函数与二次方程有着密切的联系，利用二次函数的直观性，可以判断一元二次方程根的存在性及根的个数，帮助体会“数形结合”的思想方法．　　【例2】求方程f（x）＝x3－x－1＝0在区间（1，1.5）内的实根，要求准确到小数点后第2位．　　解析：用二分法．

8、考查函数f（x）＝x3－x－1，从一个两端函数值反号的区间（1，1.5）开始，逐步缩小方程实数解所在区间．　　经计算，f（1）＝－1＜0，f（1.5）＝0.875＞0，所以函数f（x）＝x3－x－1在［1，1.5］内存在零点．　　取［1，1.5］的中点1.25，经计算，f（1.25）＝－0.297＜0，又f（1.5）＞0，所以函数f（x）在［1.25，1.5］内存在零点，亦即方程x3－x－1＝0在［1.25，1.5］内有解．　　如此下去，得到一系列有根区间的表：kakbkxkf（xk）的符号011.51.25－11.251.51.3

9、75＋21.251.3751.3125－31.31251.3751.3438＋41.31251.34381.3281＋51.31251.32811.3203－61.32031.32811.3242－　　至此，可以看出，取x6＝1.32，则能达到所要的精度，，，即

10、x*－x6

11、＜0.005．（x*为方程的准确解）　　所以，方程符合条件的实根是1.32．　　点评：本例题是新的课程标准在原教学大纲基础上新增内容，本质上是为了提升函数与方程的联系这一内容．利用二分法求方程实数解的过程比较长，选取适当的初始区间，可以减少计算次数，从而大大减少

12、计算量，计算时最好使用计算器．计算过程中，要及时检查求出的近似根是否满足精度要求，达到要求即可．当计算出x5＝1.3203时，区间［a5，b5］的长度

13、b5－a5

14、＝

15、1.3281－1.3125

16、＝0.0156，x5与方程准确解x*的误差

17、x*－x5

18、≤×0.0156（半区间长）＝0.0078，不能保证小于0.005，从而精度也无法保证达到0.01．因此需将［a5，b5］再进行二分．