高三数学大一轮复习 4.2同角三角函数基本关系式及诱导公式教案 理 新人教a版

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1、§4.2　同角三角函数基本关系式及诱导公式2014高考会这样考　1.考查同角三角函数基本关系式和诱导公式；2.利用公式进行三角函数的化简与求值．复习备考要这样做　1.理解记忆同角三角函数基本关系式和诱导公式，特别要对诱导公式的口诀理解透彻；2.通过训练加强公式运用能力的培养，寻找化简求值中的规律．1．同角三角函数的基本关系(1)平方关系：sin2α＋cos2α＝1.(2)商数关系：＝tanα.2．下列各角的终边与角α的终边的关系角2kπ＋α(k∈Z)π＋α－α图示与角α终边的关系相同关于原点对称关于x轴对称角π－α－α＋α图示与角α终边的关系关于y轴对称关于直线y＝x对称3.六组诱导

2、公式组数一二三四五六角2kπ＋α(k∈Z)π＋α－απ－α－α＋α正弦sin_α－sin_α－sin_αsin_αcos_αcos_α余弦cos_α－cos_αcos_α－cos_αsin_α－sin_α正切tan_αtan_α－tan_α－tan_α口诀函数名不变符号看象限函数名改变符号看象限[难点正本　疑点清源]1．同角三角函数关系式(1)利用平方关系解决问题时，要注意开方运算结果的符号，需要根据角α的范围进行确定．(2)同角三角函数的基本关系反映了同一个角的不同三角函数之间的必然联系，它为三角函数的化简、求值、证明等又提供了一种重要的方法．2．诱导公式诱导公式可概括为k·±α(

3、k∈Z)的各三角函数值的化简公式．记忆规律是“奇变偶不变，符号看象限”．其中的奇、偶是指的奇数倍和偶数倍，变与不变是指函数名称的变化．1．(2011·大纲全国)已知α∈，tanα＝2，则cosα＝________.答案　－解析　∵tanα＝2，∴＝2，∴sinα＝2cosα.又sin2α＋cos2α＝1，∴(2cosα)2＋cos2α＝1，∴cos2α＝.又∵α∈，∴cosα＝－.2．若tanα＝2，则的值为________．答案　解析　原式＝＝.3．已知α是第二象限的角，tanα＝－，则cosα＝________.答案　－解析　∵α是第二象限的角，∴cosα<0.又sin2α＋co

4、s2α＝1，tanα＝＝－，∴cosα＝－.4．sinπ·cosπ·tan的值是________．答案　－解析　原式＝sin·cos·tan＝··＝××(－)＝－.5．已知cos＝，则sin＝________.答案　－解析　sin＝sin＝－sin＝－cos＝－.题型一　同角三角函数基本关系式的应用例1　已知在△ABC中，sinA＋cosA＝.(1)求sinAcosA的值；(2)判断△ABC是锐角三角形还是钝角三角形；(3)求tanA的值．思维启迪：由sinA＋cosA＝及sin2A＋cos2A＝1，可求sinA，cosA的值．解　(1)∵sinA＋cosA＝①∴两边平方得1＋2si

5、nAcosA＝，∴sinAcosA＝－.(2)由sinAcosA＝－<0，且00，cosA<0，∴sinA－cosA>0，∴sinA－cosA＝.②∴由①，②可得sinA＝，cosA＝－，∴tanA＝＝＝－.探究提高　(1)对于sinα＋cosα，sinαcosα，sinα－cosα这三个式子，已知其中一个式子的值，其余二式的值可求．转化的公式为(sinα±cosα)2＝1±2sinαcosα；(2)关于sinα，cosα的齐次式，往往化为关于

6、tanα的式子．(1)已知tanα＝2，求sin2α＋sinαcosα－2cos2α；(2)已知sinα＝2sinβ，tanα＝3tanβ，求cosα.解　(1)sin2α＋sinαcosα－2cos2α＝＝＝.(2)∵sinα＝2sinβ，tanα＝3tanβ，∴sin2α＝4sin2β，①tan2α＝9tan2β，②由①÷②得：9cos2α＝4cos2β，③①＋③得：sin2α＋9cos2α＝4，∵cos2α＋sin2α＝1，∴cos2α＝，即cosα＝±.题型二　三角函数的诱导公式的应用例2　(1)已知cos＝，求cos的值；(2)已知π<α<2π，cos(α－7π)＝－，求s

7、in(3π＋α)·tan的值．思维启迪：(1)将＋α看作一个整体，观察＋α与－α的关系．(2)先化简已知，求出cosα的值，然后化简结论并代入求值．解　(1)∵＋＝π，∴－α＝π－.∴cos＝cos＝－cos＝－，即cos＝－.(2)∵cos(α－7π)＝cos(7π－α)＝cos(π－α)＝－cosα＝－，∴cosα＝.∴sin(3π＋α)·tan＝sin(π＋α)·＝sinα·tan＝sinα·＝sinα·＝cosα＝.探究提高　熟练运用诱导公式和基本