高二数学 二项式定理同步教案 新人教a版

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1、高二数学(第31周)【教学内容】1、二项式定理;2、二项式系数的性质。【教学目标】使学生理解并掌握二项式定理,理解二项展开式的通项、二项式系数、项的系数等概念,理解并掌握二项式系数的性质,并能够比较熟练地运用这些基本概念和性质来解决一些常见的题型。【知识讲解】1、二项式定理的性质(1)二项展开式共有n+1项。(2)指数:a的指数由n开始按降幂排列到0,b的指数由0按升幂排列到n,在每一项中a与b的指数之和为n。(3)系数:各项的二项式系数依次为:,,,…,,…,。(4)在二项展开式中,要注意区分“二项式系数”与“展开式系数”两个不同的概念。(5

2、)通项:二项展开式中第r+1项(0≤r≤n)叫做通项。通项公式是一个非常重要的公式,常常用它来求二项展开式中某特殊项,例如求指定幂的项,常数项,中间项,有理项,系数最大的项,具有某种性质的连续若干项等等。因此我们必须清楚地记住通项公式的结构特点,同时还注意:①通项是对(a+b)n形式的展开而言,至于(b+a)n展开式的通项是,两者的通项不相同,不可混淆。②(a-b)n展开式的通项是(0≤r≤n)。2、如果a的绝对值比1小得多,且n不太大的时候,可以应用公式:(1+a)n=1+na(a>0)(1-a)n=1-na(a>0)计算(1±a)n的近似值

3、,使它达到预定的精确要求,如果精确的要求很高,还应用这个近似公式来计算,其结果的误差会达不到要求,因此就需要在(1±a)n的展开式中往后继续取一项或几项来计算,结果总会达到要求。3、(a+b)n的展开式中相邻两项和的二项式系数之间有一个特定的关系:这里,n-r正好是第r+1项中a的幂指数,从而二项展开式的系数又具有一个性质:在展开式中,从第2项起的二项式系数,等于它的前一项的二项式系数乘以该项中a的幂指数,再除以该项中b的幂指数与1的和。4、二项式系数的性质(1)如果二项式的幂指数是偶数,中间一项的二项式系数最大;如果二项式的幂指数是奇数,中间

4、两项的二项式系数相等并且最大。(2)在二项展开式中,与首末两端“等距离”的两项的二项式系数相等。(3)(a+b)n的展开式的所有二项式系数的和等于2n。(4)(a+b)n的展开式,奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和。例1.展开解法一:原式==解法二:原式=说明:对于比较复杂的二项式要进行展开时,可以先对它进行适当地化简后再进行展开,这样可以简便运算。例2.求(1+2x)7的展开式中第四项的二项式系数及第四项的系数。解:∵展开式的第四项∴第四项的二项式系数为第四项的系数为。例3.求的展开式中x3的系数及x3的二项式系数。解:∵展开式

5、的通项是:由题意得:9-2r=3∴r=3∴x3项的系数为x3项的二项式系数为。例4.求的展开式中的常数项(或称不含x的项或称含x0的项)。解:∵展开式的通项是:由题意得:,∴r=6∴常数项为。答:常数项为5005。例5.计算(0.997)3的近似值(精确到0.001)解:(0.997)3=(1-0.003)3=≈1-3×0.003=0.991由精确度的要求,从第三项起以后各项都可以删除。例6.在的展开式中有多少个有理项?解:∵展开式的通项为:根据题意当与均为正整数时,Tr+1为有理项。∴r应是4的倍数且≤r≤100∴r可取0,4,8,12,……

6、,100∴展开式中共有26个有理项。例7.已知的展开式中第5项的二项式系数与第3项的二项式系数的比为14:3,求展开式中的常数项。解:由已知条件得:整理得:n2-5n-50=0∴n=10∴展开式的通项为:由题意得:,∴r=2∴常数项为第三项。例8.已知的展开式,第5项的系数与第3项的系数的比是56:3,求展开的中间项。解:∵∴第5项的系数为同理可求第3项的系数为。由题意得:∴n2-5n-50=0解之得:n=10∴展开式共有11项∴展开式的中间项为第6项∴答:中间项为。例9.证明:32n+2-8n-9能被64整除(n∈N)证明:32n+2-8n-

7、9=9n+1-8n-9=(8+1)n+1-8n-9===又∵∴32n+2-8n-9能被64整除。例10.若展开式的各项系数的和是128,求展开式中含x5这一项的系数。解:由题意知展开式的各项系数的和就是各项的二项式系数的和。∴2n=128∴n=7∴展开式的通项为:令∴r=4∴含x5项的系数为例11.若(1+x)n展开式中连续三项的系数的比是3:8:14,求展开式中二项式系数最大的项。解:因为(1+x)n展开式中连续三项的系数就是连续三项的二项式系数,所以由题意得:8r=3(n-r+1)故∴14(r+1)=8(n-r)n=10解之得:r=3∴展开

8、式中二项式系数最大的项为第6项,即。例12.求(1+5x)15的展开式中的最大系数。解:设第r+1项系数最大,因为这三项的系数分别为,,,所以≥≥即≥

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