高考数学一轮复习 5.3 两点间距离公式、线段的定比分点与图形的平移教案

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1、5.3两点间距离公式、线段的定比分点与图形的平移●知识梳理1.设A(x1,y1),B(x2,y2),则=(x2-x1,y2-y1).∴

2、

3、=.2.线段的定比分点是研究共线的三点P1,P,P2坐标间的关系.应注意:(1)点P是不同于P1,P2的直线P1P2上的点;(2)实数λ是P分有向线段所成的比,即P1→P,P→P2的顺序,不能搞错;(3)定比分点的坐标公式(λ≠-1).3.点的平移公式描述的是平移前、后点的坐标与平移向量坐标三者之间的关系,特别提示1.定比分点的定义:点P为所成的比为λ,用数学符号表达即为=λ.当λ>0时,P为内分点;λ<0时,P为外分点.2.定比分点的向量表达式:P点分成的

4、比为λ,则=+(O为平面内任一点).3.定比分点的应用:利用定比分点可证共线问题.●点击双基1.(2004年东北三校联考题)若将函数y=f(x)的图象按向量a平移,使图象上点的坐标由(1,0)变为(2,2),则平移后的图象的解析式为A.y=f(x+1)-2B.y=f(x-1)-2C.y=f(x-1)+2D.y=f(x+1)+2解析:由平移公式得a=(1,2),则平移后的图象的解析式为y=f(x-1)+2.答案:C2.(2004年湖北八校第二次联考)将抛物线y2=4x沿向量a平移得到抛物线y2-4y=4x,则向量a为A.(-1,2)B.(1,-2)C.(-4,2)D.(4,-2)解析:设a=(h

5、,k),由平移公式得代入y2=4x得(-k)2=4(-h),2-2k=4-4h-k2,即y2-2ky=4x-4h-k2,∴k=2,h=-1.∴a=(-1,2).答案:A思考讨论本题不用平移公式代入配方可以吗?提示:由y2-4y=4x,配方得(y-2)2=4(x+1),∴h=-1,k=2.(知道为什么吗?)3.设A、B、C三点共线,且它们的纵坐标分别为2、5、10,则A点分所得的比为A.B.C.-D.-解析:设A点分所得的比为λ,则由2=,得λ=-.答案:C4.若点P分所成的比是λ(λ≠0),则点A分所成的比是____________.解析:∵=λ,∴=λ(-+).∴(1+λ)=λ.∴=.∴=-

6、.答案:-5.(理)若△ABC的三边的中点坐标为(2,1)、(-3,4)、(-1,-1),则△ABC的重心坐标为____________.解析:设A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3),则∴∴重心坐标为(-,).答案:(-,)(文)已知点M1(6,2)和M2(1,7),直线y=mx-7与线段M1M2的交点M分有向线段的比为3∶2,则m的值为____________.解析:设M(x,y),则x===3,y===5,即M(3,5),代入y=mx-7得5=3m-7,∴m=4.答案:4●典例剖析【例1】已知点A(-1,6)和B(3,0),在直线AB上求一点P,使

7、

8、=

9、

10、.剖析:

11、

12、=

13、

14、

15、,则=或=.设出P(x,y),向量转化为坐标运算即可.解:设P的坐标为(x,y),若=,则由(x+1,y-6)=(4,-6),得解得此时P点坐标为(,4).若=-,则由(x+1,y-6)=-(4,-6)得解得∴P(-,8).综上所述,P(,4)或(-,8).深化拓展本题亦可转化为定比分点处理.由=,得=,则P为的定比分点,λ=,代入公式即可;若=-,则=-,则P为的定比分点,λ=-.由两种方法比较不难得出向量的运算转化为坐标运算,是解决向量问题的一般方法.【例2】已知△ABC的三个顶点坐标分别是A(4,1),B(3,4),C(-1,2),BD是∠ABC的平分线,求点D的坐标及BD的长.剖析:

16、∵A、C两点坐标为已知,∴要求点D的坐标,只要能求出D分所成的比即可.解:∵

17、BC

18、=2,

19、AB

20、=,∴D分所成的比λ=.由定比分点坐标公式,得∴D点坐标为(9-5,).∴

21、BD

22、==.评述:本题给出了三点坐标,因此三边长度易知,由角平分线的性质通过定比分点可解出D点坐标,适当利用平面几何知识,可以使有些问题得以简化.深化拓展本题也可用如下解法:设D(x,y),∵BD是∠ABC的平分线,∴〈,〉=〈,〉.∴,即=.又=(1,-3),=(x-3,y-4),=(-4,-2),∴=.∴(4+)x+(2-3)y+9-20=0.①又A、D、C三点共线,∴,共线.又=(x-4,y-1),=(x+1,y-2

23、),∴(x-4)(y-2)=(x+1)(y-1).②由①②可解得∴D点坐标为(9-5,),

24、BD

25、=.思考讨论若BD是AC边上的高,或BD把△ABC分成面积相等的两部分,本题又如何求解?请读者思考.【例3】已知在□ABCD中,点A(1,1),B(2,3),CD的中点为E(4,1),将□ABCD按向量a平移,使C点移到原点O.(1)求向量a;(2)求平移后的平行四边形的四个顶点的坐标.解:(1)由□

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