两点间距离公式`线段的定比分点与图形的平移

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1、5.3两点间距离公式、线段的定比分点与图形的平移●知识梳理1.设A（x1，y1），B（x2，y2），则=（x2－x1，y2－y1）.∴

2、

3、=.2.线段的定比分点是研究共线的三点P1，P，P2坐标间的关系.应注意：（1）点P是不同于P1，P2的直线P1P2上的点；（2）实数λ是P分有向线段所成的比，即P1→P，P→P2的顺序，不能搞错；（3）定比分点的坐标公式（λ≠－1）.3.点的平移公式描述的是平移前、后点的坐标与平移向量坐标三者之间的关系，特别提示1.定比分点的定义：点P为所成的比为λ，用数学符号表达即为=

4、λ.当λ＞0时，P为内分点；λ＜0时，P为外分点.2.定比分点的向量表达式：P点分成的比为λ，则=+（O为平面内任一点）.3.定比分点的应用：利用定比分点可证共线问题.●点击双基1.（2004年东北三校联考题）若将函数y=f（x）的图象按向量a平移，使图象上点的坐标由（1，0）变为（2，2），则平移后的图象的解析式为A.y=f（x+1）－2B.y=f（x－1）－2C.y=f（x－1）+2D.y=f（x+1）+2解析：由平移公式得a=（1，2），则平移后的图象的解析式为y=f（x－1）+2.答案：C2.（200

5、4年湖北八校第二次联考）将抛物线y2=4x沿向量a平移得到抛物线y2－4y=4x，则向量a为A.（－1，2）B.（1，－2）C.（－4，2）D.（4，－2）解析：设a=（h，k），由平移公式得代入y2=4x得（－k）2=4（－h），2－2k=4－4h－k2，即y2－2ky=4x－4h－k2，∴k=2，h=－1.∴a=（－1，2）.答案：A思考讨论本题不用平移公式代入配方可以吗?提示：由y2－4y=4x，配方得（y－2）2=4（x+1），∴h=－1，k=2.（知道为什么吗?）3.设A、B、C三点共线，且它们的纵

6、坐标分别为2、5、10，则A点分所得的比为A.B.C.－D.－解析：设A点分所得的比为λ，则由2=，得λ=－.答案：C4.若点P分所成的比是λ（λ≠0），则点A分所成的比是____________.解析：∵=λ，∴=λ（－+）.∴（1+λ）=λ.∴=.∴=－.答案：－5.（理）若△ABC的三边的中点坐标为（2，1）、（－3，4）、（－1，－1），则△ABC的重心坐标为____________.解析：设A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），则∴∴重心坐标为（－，）.答案：（－，）（文）已知点M1

7、（6，2）和M2（1，7），直线y=mx－7与线段M1M2的交点M分有向线段的比为3∶2，则m的值为____________.解析：设M（x，y），则x===3，y===5，即M（3，5），代入y=mx－7得5=3m－7，∴m=4.答案：4●典例剖析【例1】已知点A（－1，6）和B（3，0），在直线AB上求一点P，使

8、

9、=

10、

11、.剖析：

12、

13、=

14、

15、，则=或=.设出P（x，y），向量转化为坐标运算即可.解：设P的坐标为（x，y），若=，则由（x+1，y－6）=（4，－6），得解得此时P点坐标为（，4）.若=－，则由

16、（x+1，y－6）=－（4，－6）得解得∴P（－，8）.综上所述，P（，4）或（－，8）.深化拓展本题亦可转化为定比分点处理.由=，得=，则P为的定比分点，λ=，代入公式即可；若=－，则=－，则P为的定比分点，λ=－.由两种方法比较不难得出向量的运算转化为坐标运算，是解决向量问题的一般方法.【例2】已知△ABC的三个顶点坐标分别是A（4，1），B（3，4），C（－1，2），BD是∠ABC的平分线，求点D的坐标及BD的长.剖析：∵A、C两点坐标为已知，∴要求点D的坐标，只要能求出D分所成的比即可.解：∵

17、BC

18、

19、=2，

20、AB

21、=，∴D分所成的比λ=.由定比分点坐标公式，得∴D点坐标为（9－5，）.∴

22、BD

23、==.评述：本题给出了三点坐标，因此三边长度易知，由角平分线的性质通过定比分点可解出D点坐标，适当利用平面几何知识，可以使有些问题得以简化.深化拓展本题也可用如下解法：设D（x，y），∵BD是∠ABC的平分线，∴〈，〉=〈，〉.∴，即=.又=（1，－3），=（x－3，y－4），=（－4，－2），∴=.∴（4+）x+（2－3）y+9－20=0.①又A、D、C三点共线，∴，共线.又=（x－4，y－1），=（x+1，y－

24、2），∴（x－4）（y－2）=（x+1）（y－1）.②由①②可解得∴D点坐标为（9－5，），

25、BD

26、=.思考讨论若BD是AC边上的高，或BD把△ABC分成面积相等的两部分，本题又如何求解?请读者思考.【例3】已知在□ABCD中，点A（1，1），B（2，3），CD的中点为E（4，1），将□ABCD按向量a平移，使C点移到原点O.（1）求向量a；（2）求平移后的平行四边形的四个顶点的坐标.解：（1）由□