高考数学一轮复习 9.3 直线与平面垂直教案

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1、9.3直线与平面垂直●知识梳理1.如果一条直线与平面相交并且与平面内的所有直线都垂直，那么就说这条直线与这个平面垂直.2.直线与平面垂直的判定：如果一条直线与平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线与这个平面垂直.3.直线与平面垂直的性质：如果两条直线都与同一个平面垂直，那么这两条直线平行.●点击双基1.“直线l垂直于平面α内的无数条直线”是“l⊥α”的A.充分条件B.必要条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件答案：B2.给出下列命题，其中正确的两个命题是①直线上有两点到平面的距离相等，则此直线与平面平行②夹在两个平行平面间的两条异面线段的中点连线平行于这两个平面③直线m⊥平

2、面α，直线n⊥m，则n∥α④a、b是异面直线，则存在唯一的平面α，使它与a、b都平行且与a、b距离相等A.①②B.②③C.③④D.②④解析：①错误.如果这两点在该平面的异侧，则直线与平面相交.②正确.如下图，平面α∥β，A∈α，C∈α，D∈β，B∈β且E、F分别为AB、CD的中点，过C作CG∥AB交平面β于G，连结BG、GD.设H是CG的中点，则EH∥BG，HF∥GD.∴EH∥平面β，HF∥平面β.∴平面EHF∥平面β∥平面α.∴EF∥α，EF∥β.③错误.直线n可能在平面α内.④正确.如下图，设AB是异面直线a、b的公垂线段，E为AB的中点，过E作a′∥a，b′∥b，则a′、

3、b′确定的平面即为与a、b都平行且与a、b距离相等的平面，并且它是唯一确定的.答案：D3.在正方形SG1G2G3中，E、F分别是G1G2、G2G3的中点，D是EF的中点，沿SE、SF及EF把这个正方形折成一个四面体，使G1、G2、G3三点重合，重合后的点记为G，那么，在四面体S—EFG中必有A.SG⊥平面EFGB.SD⊥平面EFGC.FG⊥平面SEFD.GD⊥平面SEF解析：注意折叠过程中，始终有SG1⊥G1E，SG3⊥G3F，即SG⊥GE，SG⊥GF，所以SG⊥平面EFG.选A.答案：A4.在直四棱柱ABCD—A1B1C1D1中，当底面四边形ABCD满足条件_________

4、____时，有A1C⊥B1D1.（注：填上你认为正确的一种条件即可，不必考虑所有可能的情况）答案：A1C1⊥B1D1或四边形A1B1C1D1为菱形等5.设正方体ABCD—A1B1C1D1的棱长为1，则（1）A点到CD1的距离为________；（2）A点到BD1的距离为________；（3）A点到面BDD1B1的距离为_____________；（4）A点到面A1BD的距离为_____________；（5）AA1与面BB1D1D的距离为__________.答案：（1）（2）（3）（4）（5）●典例剖析【例1】已知直线a⊥平面α，直线b⊥平面α，O、A为垂足.求证：a∥b.

5、证明：以O为原点直线a为z轴，建立空间直角坐标系，i、j、k为坐标向量，直线a、b的向量分别为a、b.设b=（x，y，z），∵b⊥α，∴b·i=x=0，b·j=y=0，b=（0，0，z）=zk.∴b∥k，a∥b.评述：因证明两直线平行，也就是证明其方向向量共线，所以，利用两向量共线的充要条件证明两直线平行是新教材基本的数学方法，应做到熟练运用.【例2】已知PA⊥⊙O所在的平面，AB是⊙O的直径，C是⊙O上任意一点，过A点作AE⊥PC于点E，求证：AE⊥平面PBC.证明：∵PA⊥平面ABC，∴PA⊥BC.又∵AB是⊙O的直径，∴BC⊥AC.而PC∩AC=C，∴BC⊥平面PAC.又

6、∵AE在平面PAC内，∴BC⊥AE.∵PC⊥AE，且PC∩BC=C，∴AE⊥平面PBC.思考讨论证明直线与平面垂直的常用方法有：利用线面垂直的定义；利用线面垂直的判定定理；利用“若直线a∥直线b，直线a⊥平面α，则直线b⊥平面α”.【例3】在直三棱柱ABC—A1B1C1中，B1C1=A1C1，A1B⊥AC1，求证：A1B⊥B1C.证明：取A1B1的中点D1，连结C1D1.∵B1C1=A1C1，∴C1D1⊥ABB1A1.连结AD1，则AD1是AC1在平面ABB1A1内的射影，∵A1B⊥AC1，∴A1B⊥AD1.取AB的中点D，连结CD、B1D，则B1D∥AD1，且B1D是B1C在

7、平面ABB1A1内的射影.∵B1D⊥A1B，∴A1B⊥B1C.思考讨论证明异面直线垂直的常用方法有：证明其中一直线垂直于另外一直线所在的平面；利用三垂线定理及其逆定理.●闯关训练夯实基础1.PA垂直于以AB为直径的圆所在的平面，C为圆上异于A、B的任一点，则下列关系不正确的是A.PA⊥BCB.BC⊥平面PACC.AC⊥PBD.PC⊥BC解析：由三垂线定理知AC⊥PB，故选C.答案：C2.△ABC的三个顶点A、B、C到平面α的距离分别为2cm、3cm、4cm，且它们在α的同侧，则△ABC的重心