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《同济大学第六版高等数学上下册课后习题答案(24)》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在应用文档-天天文库。
1、习题12-81.求下列微分方程的通解:(1)y¢¢+y¢-2y=0;解微分方程的特征方程为r2+r-2=0,即(r+2)(r-1)=0,其根为r1=1,r2=-2,故微分方程的通解为y=C1ex+C2e-2x.(2)y¢¢-4y¢=0;解微分方程的特征方程为r2-4r=0,即r(r-4)=0,其根为r1=0,r2=4,故微分方程的通解为y=C1+C2e4x.(3)y¢¢+y=0;解微分方程的特征方程为r2+1=0,其根为r1=i,r2=-i,故微分方程的通解为y=C1cosx+C2sinx.(4)y¢¢+6y¢+13
2、y=0;解微分方程的特征方程为r2+6r+13=0,其根为r1=-3-2i,r2=-3+2i,故微分方程的通解为y=e-3x(C1cos2x+C2sin2x).(5);解微分方程的特征方程为4r2-20r+25=0,即(2x-5)2=0,其根为,故微分方程的通解为,即.(6)y¢¢-4y¢+5y=0;解微分方程的特征方程为r2-4r+5=0,其根为r1=2-i,r2=2+i,故微分方程的通解为y=e2x(C1cosx+C2sinx).(7)y(4)-y=0;解微分方程的特征方程为r4-1=0,即(r-1)(r+1)(
3、r2+1)=0其根为r1=1,r2=-1,r1=-i,r2=i,故微分方程的通解为y=C1ex+C2e-x+C3cosx+C4sinx.(8)y(4)+2y¢¢+y=0;解微分方程的特征方程为r4+r2+1=0,即(r2+1)2=0,其根为r1=r2=-i,r3=r4=i,故微分方程的通解为y=(C1+C2x)cosx+(C3+C4x)sinx.(9)y(4)-2y¢¢¢+y¢¢=0;解微分方程的特征方程为r4-2r3+r2=0,即r2(r-1)2=0,其根为r1=r2=0,r3=r4=1,故微分方程的通解为y=C1
4、+C2x+C3ex+C4xex.(10)y(4)+5y¢¢-36=0.解微分方程的特征方程为r4+5r2-36=0,其根为r1=2,r2=-2,r3=3i,r4=-3i,故微分方程的通解为y=C1e2x+C2e-2x+C3cos3x+C4sin3x.2.求下列微分方程满足所给初始条件的特解:(1)y¢¢-4y¢+3y=0,y
5、x=0=6,y¢
6、x=0=10;解微分方程的特征方程为r2-4r+3=0,即(r-1)(r-3)=0,其根为r1=1,r2=3,故微分方程的通解为y=C1ex+C2e3x.由y
7、x=0=6,y¢
8、
9、x=0=10,得,解之得C1=4,C2=2.因此所求特解为y=4ex+2e3x.(2)4y¢¢+4y¢+y=0,y
10、x=0=2,y¢
11、x=0=0;解微分方程的特征方程为4r2+4r+1=0,即(2r+1)2=0,其根为,故微分方程的通解为.由y
12、x=0=2,y¢
13、x=0=0,得,解之得C1=2,C2=1.因此所求特解为.(3)y¢¢-3y¢-4y=0,y
14、x=0=0,y¢
15、x=0=-5;解微分方程的特征方程为r2-3r-4=0,即(r-4)(r+1)=0,其根为r1=-1,r2=4,故微分方程的通解为y=C1e-x
16、+C2e4x.由y
17、x=0=0,y¢
18、x=0=-5,得,解之得C1=1,C2=-1.因此所求特解为y=e-x-e4x.(4)y¢¢+4y¢+29y=0,y
19、x=0=0,y¢
20、x=0=15;解微分方程的特征方程为r2+4r+29=0,其根为r1,2=-2±5i,故微分方程的通解为y=e-2x(C1cos5x+C2sin5x).由y
21、x=0=0,得C1=0,y=C2e-2xsin5x.由y¢
22、x=0=15,得C2=3.因此所求特解为y=3e-2xsin5x.(5)y¢¢+25y=0,y
23、x=0=2,y¢
24、x=0=5;解微
25、分方程的特征方程为r2+25=0,其根为r1,2=±5i,故微分方程的通解为y=C1cos5x+C2sin5x.由y
26、x=0=2,得C1=2,y=2cos5x+C2sin5x.由y¢
27、x=0=5,得C2=1.因此所求特解为y=2cos5x+sin5x.(6)y¢¢-4y¢+13y=0,y
28、x=0=0,y¢
29、x=0=3.解微分方程的特征方程为r2-4r+13=0,其根为r1,2=2±3i,故微分方程的通解为y=e2x(C1cos3x+C2sin3x).由y
30、x=0=0,得C1=0,y=C2e2xsin3x.由y¢
31、x=
32、0=3,得C2=1.因此所求特解为y=e2xsin3x.3.一个单位质量的质点在数轴上运动,开始时质点在原点O处且速度为v0,在运动过程中,它受到一个力的作用,这个力的大小与质点到原点的距离成正比(比例系数k1>0)而方向与初速一至.又介质的阻力与速度成正比(比例系数k2>0).求反映这质点的运动规律的函数.解设数轴为x轴,v0方向为正轴方向.
