同济大学第六版高等数学上下册课后习题答案(4)

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1、习题871求函数zx2+y2在点(12)处沿从点(12)到点(2,23)的方向的方向导数解因为从点(12)到点(2,23)的向量为l(1,3)故l13e(,)(cos,cos)l

2、l

3、22又因为zz2x22y4(1,2)(1,2)x(1,2)y(1,2)故所求方向导数为zzz13coscos24123lxy222求函数zln(xy)在抛物线y24x上点(12)处沿这抛物线在该点处偏向x轴正向的切线方向的方向导数22解方程y4x两边对x求导得2yy4解得yy在抛物线y24x上点(

4、12)处切线的斜率为y(1)1切向量11为l(11)单位切向量为e(,)(cos,cos)l22又因为z11z11x(1,2)xy3yxy3(1,2)(1,2)(1,2)故所求方向导数为zzz11112coscoslxy32323x2y2abx2y23求函数z1()在点(,)处沿曲线12222ab22ab在这点的内法线方向的方向导数2y22yx2x解令F(x,y)1则FFa2b2xa2yb2从而点(xy)处的法向量为2x2yn(F,F)(,)xya2b2ab在(,)处的内

5、法向量为222x2y22n(,)(,)a2b2(a,b)ab22单位内法向量为bae(,)(cos,cos)na2b2a2b2又因为z2x2ab2abx(,)a(,)a2222z2y2ab2aby(,)b(,)b2222zzz所以coscosnxy2b2a222abaa2b2ba2b2ab4求函数uxy2z3xyz在点(112)处沿方向角为3的方向的方向导数43解因为方向向量为121l(cos,cos,cos)(,,)222又因为u2(yyz)(1

6、,1,2)1x(1,1,2)u(2xyxz)(1,1,2)0y(1,1,2)u2(3zxy)(1,1,2)11z(1,1,2)uuuu所以coscoscoslxyz121(1)01152225求函数uxyz在点(512)处沿从点(512)到点(9414)的方向的方向导数解因为l(9541142)(4312)l4312e(,,)l

7、l

8、131313u并且yz(5,1,2)2x(5,1,2)uxz(5,1,2)10y(5,1,2)uxy(5,1,2)5

9、z(5,1,2)uuuu所以coscoscoslxyz4312982105131313136求函数ux2y2z2在曲线xtyt2zt3上点(111)处沿曲线在该点的切线正方向(对应于t增大的方向)的方向导解曲线xtyt2zt3上点(111)对应的参数为t1在点(111)的切线正向为2l(1,2t,3t)(1,2,3)t1l123e(,,)l

10、l

11、141414u又2x2(1,1,1)x(1,1,1)u2y2(1,1,1)y(1,1,1)u2z2(1,1,1)

12、z(1,1,1)uuuu所以coscoscosl(1,1,1)xyz12312222141414147求函数uxyz在球面x2y2z21上点(x0y0z0)处沿球面在该点的外法线方向的方向导数解令F(xyz)x2y2z21则球面x2y2z21在点(x0y0z0)处的外法向量为n(F,F,F)(2x,2y,2z)xyz(x0,y0,z0)000ne(x,y,z)(cos,cos,cos)n000

13、n

14、uuu又1xyzuuuu所以coscoscos

15、nxyz1x1y1zxyz0000008设f(xyz)x22y23z2xy3x2y6z求gradf(000)及gradf(111)fff解2xy34yx26z6xyzfff因为326(0,0,0)(0,0,0)(0,0,0)xyzfff630(0,1,1)(0,