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《同济大学第六版高等数学上下册课后习题答案(35)》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在应用文档-天天文库。
1、习题10-51.按对坐标的曲面积分的定义证明公式:.解证明把S分成n块小曲面DSi(DSi同时又表示第i块小曲面的面积),DSi在yOz面上的投影为(DSi)yz,(xi,hi,zi)是DSi上任意取定的一点,l是各小块曲面的直径的最大值,则.2.当S为xOy面内的一个闭区域时,曲面积分与二重积分有什么关系？解因为S:z=0,(x,y)ÎDxy,故,当S取的是上侧时为正号,S取的是下侧时为负号.3.计算下列对坐标的曲面积分:(1)其中S是球面x2+y2+z2=R2的下半部分的下侧;解S的方程为,Dxy:x2+y2£R,于是.(2
2、),其中z是柱面x2+y2=1被平面z=0及z=3所截得的第一卦限内的部分的前侧;解S在xOy面的投影为零,故.S可表示为,(y,z)ÎDyz={(y,z)
3、0£y£1,0£z£3},故S可表示为,(z,x)ÎDzx={(z,x)
4、0£z£3,0£x£1},故.因此.解法二S前侧的法向量为n=(2x,2y,0),单位法向量为,由两种曲面积分之间的关系,.提示:表示曲面的面积.(3),其中f(x,y,z)为连续函数,S是平面x-y+z=1在第四卦限部分的上侧;解曲面S可表示为z=1-x+y,(x,y)ÎDxy={(x,y)
5、0£x
6、£1,0£y£x-1},S上侧的法向量为n=(1,-1,1),单位法向量为,由两类曲面积分之间的联系可得.(4),其中S是平面x=0,y=0,z=0,x+y+z=1所围成的空间区域的整个边界曲面的外侧.解S=S1+S2+S3+S4,其中S1:x=0,Dyz:0£y£1,0£z£1-y,S2:y=0,Dzx:0£z1,0£x£1-z,S3:z=0,Dxy:0£x£1,0£y£1-x,S4:z=1-x-y,Dxy:0£x£1,0£y£1-x,于是.由积分变元的轮换对称性可知.因此.解S=S1+S2+S3+S4,其中S1、S2、S3是
7、位于坐标面上的三块;S4:z=1-x-y,Dxy:0£x£1,0£y£1-x.显然在S1、S2、S3上的曲面积分均为零,于是.4.把对坐标的曲面积分化成对面积的曲面积分:(1)S为平面在第一卦限的部分的上侧;解令,S上侧的法向量为:,单位法向量为,于是.(2)S是抛物面z=8-(x2+y2)在xOy面上方的部分的上侧.解令F(x,y,z)=z+x2+y2-8,S上侧的法向量n=(Fx,Fy,Fz)=(2x,2y,1),单位法向量为,于是.
