2018版高中数学第三章三角恒等变换3.1.1两角和与差的余弦学案苏教版必修4

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1、3.1.1　两角和与差的余弦学习目标　1.了解两角差的余弦公式的推导过程.2.理解用向量法导出公式的主要步骤.3.理解两角和与差的余弦公式间的关系，熟记两角和与差的余弦公式的形式及符号特征，并能利用公式进行化简求值．知识点一　两角差的余弦思考1　cos(90°－30°)＝cos90°－cos30°成立吗？　　思考2　单位圆中(如图)，∠P1Ox＝α，∠P2Ox＝β，那么P1，P2的坐标是什么？与的夹角是多少？　　思考3　由思考2，体会两角差的余弦公式的推导过程．　　梳理　两角差的余弦公式cos(α－β)＝_______________

2、_____.(C(α－β))知识点二　两角和的余弦思考　你能根据两角差的余弦推导出两角和的余弦吗？　　梳理　两角和的余弦公式cos(α＋β)＝________________.(C(α＋β))特别提醒：(1)公式中的角α，β是任意角，特点是用单角的三角函数表示复角的三角函数，cos(α－β)，cos(α＋β)是一个整体．(2)公式特点：公式右端的两部分为同名三角函数的积，连接符号与左边角的连接符号相反，可用口诀“余余、正正号相反”记忆公式．类型一　给角求值问题例1　求下列各式的值：(1)cos40°cos70°＋cos20°cos50

3、°；(2)；(3)cos15°＋sin15°.　　　反思与感悟　对非特殊角的三角函数式求值问题，一定要本着先整体后局部的基本原则．如果整体符合三角函数公式的形式，则整体变形，否则进行各局部的变形．一般途径有将非特殊角化为特殊角的和或差的形式，化为正负相消的项并消项求值，化分子、分母形式进行约分求值，要善于逆用或变用公式．跟踪训练1　求下列各式的值：(1)cos(α－35°)cos(α＋25°)＋sin(α－35°)sin(α＋25°)；(2).　　类型二　已知三角函数值求值例2　已知sinα＝－，sinβ＝，且π＜α＜，＜β＜π，求c

4、os(α－β)．引申探究1．若将例2改为已知sinα＝－，sinβ＝，且π＜α＜2π，0＜β＜，求cos(α－β)．2．若将例2改为已知sinα＝－，π＜α＜，＜β＜π，cos(α－β)＝，求sinβ.　　反思与感悟　(1)在用两角和与差的余弦公式求值时，常将所求角进行拆分或组合，把所要求的函数值中的角表示成已知函数值的角．(2)在将所求角分解成某两角的差时，应注意如下变换：α＝(α＋β)－β，α＝β－(β－α)，α＝(2α－β)－(α－β)，α＝[(α＋β)＋(α－β)]，α＝[(β＋α)－(β－α)]等．跟踪训练2　已知＜β＜α＜

5、，且cos(α－β)＝，sin(α＋β)＝－，求cos2α的值．　　类型三　已知三角函数值求角例3　已知cosα＝，cos(α－β)＝，且0<β<α<，求β的值．　　反思与感悟　求解给值求角问题的一般步骤：(1)求角的某一个三角函数值．(2)确定角的范围．(3)根据角的范围写出所求的角．跟踪训练3　已知锐角α，β满足sinα＝，cosβ＝，求α＋β的值．　　　　1．计算coscos＋cossin的值是________．2．若a＝(cos60°，sin60°)，b＝(cos15°，sin15°)，则a·b＝________.3．已知co

6、sα＝，且α为第一象限角，则cos(＋α)＝________.4．已知sinα＋sinβ＝，cosα＋cosβ＝，求cos(α－β)的值．　　　5．已知sin(α－β)＝，sin(α＋β)＝－，且α－β∈，α＋β∈，求cos2β的值．　　　1．“给式求值”或“给值求值”问题，即由给出的某些函数关系式或某些角的三角函数值，求另外一些角的三角函数值，关键在于“变式”或“变角”，使“目标角”换成“已知角”．注意公式的正用、逆用、变形用，有时需运用拆角、拼角等技巧．2．“给值求角”问题，实际上也可转化为“给值求值”问题，求一个角的值，可分以下

7、三步进行：(1)求角的某一三角函数值；(2)确定角所在的范围(找区间)；(3)确定角的值．确定用所求角的哪种三角函数值，要根据具体题目而定．答案精析问题导学知识点一思考1　不成立．思考2　P1(cosα，sinα)，P2(cosβ，sinβ)．与的夹角是α－β.思考3　在直角坐标系xOy中，以Ox轴为始边分别作角α，β，其终边分别与单位圆交于P1(cosα，sinα)，P2(cosβ，sinβ)，则∠P1OP2＝α－β.由于余弦函数是周期为2π的偶函数，所以，我们只需考虑0≤α－β≤π的情况．设向量a＝＝(cosα，sinα)，b＝＝

8、(cosβ，sinβ)，则a·b＝

9、a

10、

11、b

12、cos(α－β)＝cos(α－β)．另一方面，由向量数量积的坐标表示，有a·b＝cosαcosβ＋sinαsinβ，所以cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ.