高中数学第三章三角恒等变换3.1两角和与差的三角函数3.1.1两角和与差的余弦导学案苏教版必修4

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1、3．1.1　两角和与差的余弦课堂导学三点剖析1.两角和与差的余弦公式的应用【例1】化简下列各式.（1）sin70°cos25°-sin20°·sin25°;（2）cos(70°+α)cos(10°+α)+sin(70°+α)sin(170°-α).思路分析：从整体上观察式子的特点，区别角的异同，利用诱导公式合理转化，凑成公式形式，再利用公式解题.解：（1）原式=cos20°cos25°-sin20°sin25°=cos(20°+25°)=cos45°=.(2)原式=cos(70°+α)cos(10°+α)+sin(70°+α)sin［180°-（10°+α）］=c

2、os(70°+α)cos(10°+α)+sin(70°+α)·sin(10°+α)=cos［（70°+α）-(10°+α)］=cos60°=.温馨提示在逆用公式时，要通过诱导公式变形，使之符合公式的特征，有时还可以把三角式中的系数作为特殊值转化为特殊角.2.两角差的余弦公式的探索与证明【例2】已知sin=，cosβ=，求cos（α-β）的值.思路分析：本题要考查利用两角差的余弦公式求值.根据两角差的余弦公式知，还须求cosα、sinβ.由条件可知，只要对α、β所处的象限进行讨论即可.解：∵sinα=＞0，∴α为第一、二象限角.当α为第一象限角时，cosα=；当α为

3、第二象限角时，cosα=-.∵cosβ=＞0，∴β为第一、四象限角.当β为第一象限角时，sinβ=；当β为第四象限角时，sinβ=-.∵cos（α-β）=cosαcosβ+sinαsinβ，∴当α、β均为第一象限角时，cos（α-β）=×+×=；当α为第一象限角，β为第四象限角时，cos（α-β）=×+×（-）=；当α为第二象限角，β为第一象限角时，cos（α-β）=（-）×+×（-）=-；当α为第二象限角，β为第四象限角时，cos（α-β）=（-）×+×-=-.温馨提示①解题时，由结论出发分析题目作了哪些条件准备，还需再求什么，明确解题的目标.②已知条件中给出某

4、个角的三角函数值，但并未指出角α所在的象限时，一般要进行分类讨论.3.两角和与差的余弦公式的综合应用【例3】已知cos（α-）=-，sin（-β）=，且α∈（，π），β∈（0，），求cos的值.思路分析：本题主要考查角的变换及两角差的余弦公式.本题是给值求值的问题，若不考虑条件，盲目地看cos无法求.为此寻求已知条件中角α-、-β与欲求式中角的关系，不难发现=（α-）-（-β），这样将cosα+的值转化为cos[(α-)-（-β）]的值，可利用两角差的余弦公式求得.解：∵＜α＜π，0＜β＜，∴＜＜，0＜＜＜，＜α+β＜.∴＜α-＜π，-＜-β＜，＜＜.又cos（α

5、-）=-，sin（-β）=.∴sin（α-）=，cos（-β）=.∴cosα+=cos[（α-）-（-β）]=cos（α-）cos（-β）+sin（α-）sin（-β）=（-）×+×=.温馨提示像这类给值求值问题，关键是抓住已知条件中的角与所求式中角的联系，即想办法利用已知条件中角表示所求式中的角，这个过程我们称作“角的变换”.各个击破类题演练1求值.（1）cos24°cos36°-sin24°sin36°；（2）cos80°cos35°+cos10°cos55°；（3）sin100°sin（-160°）+cos200°（-280°）；（4）sin347°cos1

6、48°+sin77°cos58°.解：（1）原式=cos（24°+36°）=cos60°=；（2）原式=cos80°cos35°+sin80°sin35°=cos（80°-35°）=cos45°=；（3）原式=sin（180°-80°）sin（20°-180°）+cos（20°+180°）cos（80°-360°）=sin80°（-sin20°）+（-cos20°）cos80°=-sin80°sin20°-cos80°cos20°=-（cos80°cos20°+sin80°sin20°）=-cos（80°-20°）=-cos60°=-；（4）原式=sin（-13°

7、+360°）cos（180°-32°）+sin77°cos58°=sin（-13°）（-cos32°）+sin77°cos58°=-sin13°（-cos32°）+sin77°cos58°=cos77°cos32°+sin77°sin32°=cos（77°-32°）=cos45°=.变式提升1求值.（1）cos（-15°）；（2）cos75°.解：（1）cos（-15°）=cos15°=cos（45°-30°）=cos45°cos30°+sin45°sin30°=；（2）cos75°=cos（45°+30°）=cos45°cos30°-sin45°sin30°=.

8、类题演练2