机械优化设计_第四章无约束优化方法

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1、无约束优化方法一、概述二、最速下降法（梯度法）三、牛顿型方法（牛顿法和阻尼牛顿法）四、共轭方向和共轭方向法五、共轭梯度法六、变尺度法七、坐标轮换法参赛选手：*******实际中的工程问题大都是在一定限制条件下追求某一指标为最小，属于约束优化问题。为什么要研究无约束优化问题？1）有些实际问题，其数学模型本身就是一个无约束问题；2）通过熟悉它的解法可以为研究约束优化问题打下良好的基础；3）约束优化问题的求解可用通过一系列无约束优化方法来达到。所以无约束优化问题的解法是优化设计方法的基本组成部分，也是优化方法的基础。1、无约束优化问题求维设

2、计变量使目标函数，而对没有任何限制条件。2、求解方法（1）利用极值条件来确定极值点的位置。（2）数值计算方法——搜索方法基本思想：从给定的初始点出发，沿某一搜索方向进行搜索，确定最佳步长使函数值沿下降最大。依此方式不断进行，形成迭代的下降算法：一、概述3、算法框图4、无约束优化方法的分类根据确定其搜索方向方法不同，可分为：（2）利用目标函数的一阶或二阶导数的无约束优化方法（或称间接法）如：最速下降法（梯度法）、共轭梯度法、牛顿法及变尺度法；间接法除了要计算目标函数值外，还要计算目标函数的梯度，有的还要计算其海赛矩阵；（1）只利用目标函

3、数值的无约束优化方法（或称直接法，即不使用导数信息），如：坐标轮换法、单形替换法及鲍威（Powell）法。直接法不必求函数导数，只计算目标函数值。适用于求解变量个数较少（小于20）的问题，一般情况下效率较低。搜索方向的构成问题是无约束优化方法的关键。二、最速下降法（梯度法）1、基本思想函数的负梯度方向是函数值在该点下降最快的方向。将n维问题转化为一系列沿负梯度方向用一维搜索方法寻优的问题，即利用负梯度作为搜索方向，故称为最速下降法或梯度法。搜索方向取该点的负梯度方向即，使函数值在该点附近的范围内下降最快。2、最速下降法的原理（1）使，

4、按此规律不断走步，形成迭代算法：（2）其步长因子取一维搜索的最佳步长，即根据一元函数极值的必要条件和多元复合函数求导公式，得或由此可知，在最速下降法中，相邻两个迭代点上的函数梯度相互垂直。而搜索方向就是负梯度方向，因此相邻两个搜索方向互相垂直。这就是说在迭代点向函数极小点靠近的过程，走的是曲折的路线，形成“之”字形的锯齿现象，而且越接近极小点锯齿越细。最速下降法的搜索路径函数梯度为局部性质，因此并非“最快”。梯度法的迭代历程方法特点1）初始点可任选，每次迭代计算量小，存储量少，程序简短。即使从一个不好的初始点出发，开始的几步迭代，目标

5、函数值下降很快，然后慢慢逼近局部极小点；2）任意相邻两点的搜索方向是正交的，它的迭代路径为绕道逼近极小点。当迭代点接近极小点时，步长变得很小，越走越慢。最速下降法的程序框图例：求目标函数的极小点解法1：取初始点，则初始点处的函数值及梯度分别为：为一维搜索最佳步长，应满足极值必要条件则第一次迭代设计点位置和函数值经过10次迭代后，得到最优解：该问题的目标函数的等值线为一族椭圆，迭代点走的是一段锯齿形路线。解法2：引入变化，则目标函数变为，经过坐标（尺度）变化后，只需要经过一次迭代，就可找到最优解：不同等值线的迭代过程讨论可以看出二者的对

6、角形矩阵不同，前者的等值线为一族椭圆，后者的等值线为一族同心圆，这说明对角形矩阵是表示度量的矩阵或者是表示尺度的矩阵，最速下降法的收敛速度和变量的尺度有很大关系。3、最速下降法收敛速度的估计式的海赛矩阵最大特征值上界——的海赛矩阵最小特征值下界——梯度法的特点：（1）理论明确，程序简单，对初始点要求不严格；（2）对一般函数而言，梯度法的收敛速度并不快，因为最速下降法仅仅是指某点的一个局部性质；（3）梯度法相邻两次搜索方向的正交性决定了迭代全过程的搜索路径呈锯齿形，在远离极小点时逼近速度较快，而在接近极小点时逼近速度较慢；（4）梯度法的

7、收敛速度与目标函数的性质密切相关。对于等值线（面）为同心圆（球）的目标函数，一次搜索即可达到极小点。三、牛顿型方法基本思想：在领域内用一个二次函数来近似代替原目标函数，并将的极小值作为目标函数求优的下一个迭代点。经多次迭代，使之逼近目标函数的极小点。对于多元函数，设为极小点的第一个近似点，泰勒展开，保留到二次项，得:设为的极小点，它作为极小点的下一个近似点，根据极值必要条件：即——海赛矩阵1、牛顿法对于二次函数，海赛矩阵是常矩阵，故从任何点出发，只需一步可找到极小点。---多元函数求极值的牛顿法迭代公式。例:用牛顿法求的极小值解：取初

8、始点，则代入牛顿法迭代公式可得:从而经过一次迭代即求得极小点和函数极小值。2、阻尼牛顿法把看作一个搜索方向，称其为牛顿方向，则阻尼牛顿法的迭代公式为：——阻尼因子，即沿牛顿方向进行一维搜索的最佳步长，可通过如下极小化过程