2016届高考数学一轮总复习 4.1平面向量的概念及其线性运算练习

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1、第一节　平面向量的概念及其线性运算时间：45分钟　分值：100分一、选择题1．若向量a与b不相等，则a与b一定(　　)A．有不相等的模B．不共线C．不可能都是零向量D．不可能都是单位向量答案　C2．下列命题中是真命题的是(　　)①对任意两向量a，b，a－b与b－a是相反向量；②在△ABC中，＋－＝0；③在四边形ABCD中，(＋)－(＋)＝0；④在△ABC中，－＝.A．①②B．②③C．②④D．③④解析　①是真命题．因为(a－b)＋(b－a)＝a＋(－b)＋b＋(－a)＝a＋(－a)＋b＋(－b)＝(a－a)＋(b－b)＝0；所以a－b与b－a是相反向量．②真命题．因为＋－＝－＝0；所以命

2、题成立．③假命题．因为＋＝，＋＝，所以(＋)－(＋)＝－＝＋≠0，所以该命题不成立．④假命题．因为－＝＋＝≠，所以该命题不成立，故选A.答案　A3．如图，在△ABC中，

3、

4、＝

5、

6、，延长CB到D，使⊥，若＝λ＋μ，则λ－μ的值是(　　)A．1B．2C．3D．4解析　由题意可知，B是DC中点，故＝(＋)，即＝2－，所以λ＝2，μ＝－1，则λ－μ＝3.答案　C4．设a，b是两个非零向量，则下列命题为真命题的是(　　)A．若

7、a＋b

8、＝

9、a

10、－

11、b

12、，则a⊥bB．若a⊥b，则

13、a＋b

14、＝

15、a

16、－

17、b

18、C．若

19、a＋b

20、＝

21、a

22、－

23、b

24、，则存在实数λ，使得a＝λbD．若存在实数λ，使得a＝λb，则

25、

26、a＋b

27、＝

28、a

29、－

30、b

31、解析　将

32、a＋b

33、＝

34、a

35、－

36、b

37、两边都平方得a2＋b2＋2a·b＝a2＋b2－2

38、a

39、·

40、b

41、，∴2a·b＝－2

42、a

43、·

44、b

45、⇒2

46、a

47、·

48、b

49、cosθ＝－2

50、a

51、·

52、b

53、，∴cosθ＝－1，即a与b共线，故选C.答案　C5．已知点O为△ABC外接圆的圆心，且＋＋＝0，则△ABC的内角A等于(　　)A．30°B．60°C．90°D．120°解析　由＋＋＝0得＋＝，由O为△ABC外接圆的圆心，结合向量加法的几何意义知四边形OACB为菱形，且∠CAO＝60°，故∠CAB＝30°.答案　A6．在直角梯形ABCD中，∠A＝90°，∠B＝30°，AB＝2，BC＝2，点

54、E在线段CD上，若＝＋μ，则μ的取值范围是(　　)A．[0,1]B．[0，]C.D.解析　由题意可求得AD＝1，CD＝，所以＝2.因为点E在线段CD上，所以＝λ(0≤λ≤1)．因为＝＋，又＝＋μ＝＋2μ＝＋，所以＝1，即μ＝.因为0≤λ≤1，所以0≤μ≤，故选C.答案　C二、填空题7．(2015·重庆模拟)若＝3a，＝－5a，且

55、

56、＝

57、

58、，则四边形ABCD的形状是________．解析　因为＝3a，＝－5a，所以＝－，，共线，所以AB，CD平行且不相等，又有

59、

60、＝

61、

62、，所以四边形ABCD为等腰梯形．答案　等腰梯形8．(2014·陕西卷)设0<θ<，向量a＝(sin2θ，cosθ)，b＝

63、(cosθ，1)，若a∥b，则tanθ＝________.解析　由a∥b，得sin2θ＝cos2θ，即2sinθcosθ＝cos2θ，因为0<θ<，所以cosθ≠0，整理得2sinθ＝cosθ，所以tanθ＝.答案　9．已知向量c＝＋，其中a，b均为非零向量，则

64、c

65、的取值范围是________．解析　与均为单位向量，当它们共线同向时，

66、c

67、取最大值2，当它们共线反向时，

68、c

69、取最小值0，故

70、c

71、的取值范围是[0,2]．答案　[0,2]三、解答题10．如图所示，在△ABC中，D、F分别是BC、AC的中点，＝，＝a，＝b.(1)用a、b表示向量，，，，；(2)求证：B，E，F三点共线．解

72、　(1)延长AD到G，使＝，连接BG，CG，得到▱ABGC，所以＝a＋b.＝＝(a＋b)，＝＝(a＋b)，＝＝b，＝－＝(a＋b)－a＝(b－2a)．＝－＝b－a＝(b－2a)．(2)证明：由(1)可知＝，因为有公共点B，所以B，E，F三点共线．11．已知a，b不共线，＝a，＝b，＝c，＝d，＝e，设t∈R，如果3a＝c,2b＝d，e＝t(a＋b)，是否存在实数t使C，D，E三点在一条直线上？若存在，求出实数t的值；若不存在，请说明理由．解　由题设知，＝d－c＝2b－3a，＝e－c＝(t－3)a＋tb，C，D，E三点在一条直线上的充要条件是存在实数k，使得＝k，即(t－3)a＋tb＝－

73、3ka＋2kb.整理得(t－3＋3k)a＝(2k－t)b.因为a，b不共线，所以有解得t＝.故存在实数t＝使C，D，E三点在一条直线上．1．(2015·山东烟台期末)如图，O为线段A0A2013外一点，若A0，A1，A2，A3，…，A2013中任意相邻两点的距离相等，OA0＝a，OA2013＝b，用a，b表示＋＋＋…＋OA2013，其结果为(　　)A．1006(a＋b)B．1007(a＋b)C．2012(a＋b)D．2014(a＋b)解析　设A