2016高考数学大一轮复习 5.1平面向量及其线性运算学案 理 苏教版

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1、学案24　平面向量及其线性运算导学目标：1.了解向量的实际背景.2.理解平面向量的概念、理解两个向量相等的含义.3.理解向量的几何表示.4.掌握向量加法、减法的运算，并理解其几何意义.5.掌握向量数乘的运算及其意义，理解两个向量共线的含义.6.了解向量线性运算的性质及其几何意义．自主梳理1.向量的有关概念(1)向量的定义：既有________又有________的量叫做向量．(2)表示方法：用____________来表示向量．有向线段的长度表示向量的大小，箭头所指的方向表示向量的方向．用字母a，b，…或用，，…表示．(3)模：向量的________叫向量的长度或模，记作_

2、_____或________．(4)零向量：长度为零的向量叫做零向量，记作0；零向量的方向是________．(5)单位向量：长度为________单位长度的向量叫做单位向量．与a平行的单位向量e＝____________.(6)平行向量：方向________或________的________向量；平行向量又叫________，任一组平行向量都可以移到同一直线上．规定：0与任一向量________．(7)相等向量：长度________且方向________的向量．2．向量的加法运算及其几何意义(1)已知非零向量a，b，在平面内任取一点O，作＝a，＝b，则向量叫做a与b的_

3、___，记作________，即________＝＋＝________，这种求向量和的方法叫做向量加法的____________．(2)以同一点O为起点的两个已知向量a，b为邻边作▱OACB，则以O为起点的对角线就是a与b的和，这种作两个向量和的方法叫做向量加法的____________．(3)加法运算律a＋b＝________(交换律)；(a＋b)＋c＝________(结合律)．3．向量的减法及其几何意义(1)相反向量与a________、________的向量，叫做a的相反向量，记作____．(2)向量的减法①定义a－b＝a＋____，即减去一个向量相当于加上这个向量

4、的________．②如图，＝a，＝b，则＝______，＝______.4．向量数乘运算及其几何意义(1)定义：实数λ与向量a的积是一个向量，记作______，它的长度与方向规定如下：①

5、λa

6、＝________；②当λ>0时，λa与a的方向________；当λ<0时，λa与a的方向________；当a＝0时，λa＝____；当λ＝0时，λa＝____.(2)运算律设λ，μ是两个实数，则①λ(μa)＝________.(结合律)②(λ＋μ)a＝________.(第一分配律)③λ(a＋b)＝________.(第二分配律)(3)两个向量共线定理：向量b与a(a≠0)共

7、线的充要条件是存在唯一一个实数λ，使b＝λa.5．重要结论(1)＝(＋＋)⇔G为△ABC的________；(2)＋＋＝0⇔P为△ABC的________．自我检测1．(2010·四川改编)设点M是线段BC的中点，点A在直线BC外，2＝16，

8、＋

9、＝

10、－

11、，则

12、

13、＝________.2．下列四个命题：①对于实数m和向量a，b，恒有m(a－b)＝ma－mb；②对于实数m和向量a，b(m∈R)，若ma＝mb，则a＝b；③若ma＝na(m，n∈R，a≠0)，则m＝n；④若a＝b，b＝c，则a＝c，其中正确命题的个数为________．3．在▱ABCD中，＝a，＝b，＝3，M为BC

14、的中点，则用a，b表示为________．4．(2010·湖北改编)已知△ABC和点M满足＋＋＝0.若存在实数m使得＋＝m成立，则m＝________.5．(2009·安徽)在平行四边形ABCD中，E和F分别是边CD和BC的中点，若＝λ＋μ，其中λ、μ∈R，则λ＋μ＝______.探究点一　平面向量的有关概念辨析例1　①有向线段就是向量，向量就是有向线段；②向量a与向量b平行，则a与b的方向相同或相反；③向量与向量共线，则A、B、C、D四点共线；④如果a∥b，b∥c，那么a∥c.以上命题中正确的个数为________．变式迁移1　下列命题中正确的有________(填写所有

15、正确命题的序号)．①

16、a

17、＝

18、b

19、⇒a＝b；②若a＝b，b＝c，则a＝c；③

20、a

21、＝0⇒a＝0；④若A、B、C、D是不共线的四点，则＝⇔四边形ABCD是平行四边形．探究点二　向量的线性运算例2　已知任意平面四边形ABCD中，E、F分别是AD、BC的中点．求证：＝(＋)．变式迁移2　如图所示，若四边形ABCD是一个等腰梯形，AB∥DC，M、N分别是DC、AB的中点，已知＝a，＝b，＝c，试用a、b、c表示，，＋.探究点三　共线向量问题例3　如图所示，平行四边形ABCD中，＝b，＝a，M为AB中点，N为BD靠近B的三等